Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 2x² и y = x + 1, нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Сначала необходимо определить, в каких точках линии пересекаются. Для этого приравняем уравнения:

1. 2x² = x + 1

Переносим все в одну сторону:

1. 2x² - x - 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

1. Дискриминант D = b² - 4ac = (-1)² - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9
2. Корни уравнения находятся по формуле: x = (-b ± √D) / (2a).
3. Подставляем значения: x = (1 ± 3) / 4.
4. Таким образом, получаем два корня: x₁ = 1 и x₂ = -0.5.

Теперь найдем соответствующие значения y для x₁ и x₂, подставив их в одно из уравнений. Например, подставим в y = x + 1:

1. Для x₁ = 1: y₁ = 1 + 1 = 2.
2. Для x₂ = -0.5: y₂ = -0.5 + 1 = 0.5.

Таким образом, точки пересечения: (1, 2) и (-0.5, 0.5).

Теперь нужно выяснить, какая из функций выше на отрезке между найденными точками. Подставим, например, x = 0:

1. y = 2(0)² = 0 (для функции y = 2x²).
2. y = 0 + 1 = 1 (для функции y = x + 1).

Значит, на этом отрезке функция y = x + 1 выше, чем y = 2x².

Теперь мы можем вычислить площадь, используя интеграл:

1. Площадь = ∫[x₁, x₂] (верхняя функция - нижняя функция) dx.
2. В нашем случае: Площадь = ∫[-0.5, 1] ((x + 1) - (2x²)) dx.

Теперь вычислим интеграл:

1. Площадь = ∫[-0.5, 1] (x + 1 - 2x²) dx = ∫[-0.5, 1] (-2x² + x + 1) dx.
2. Находим первообразную: -2/3 x³ + 1/2 x² + x.

Теперь подставим пределы интегрирования:

1. Подставляем x = 1: -2/3(1)³ + 1/2(1)² + (1) = -2/3 + 1/2 + 1 = -2/3 + 3/6 + 6/6 = 7/6 - 2/3 = 7/6 - 4/6 = 3/6 = 1/2.
2. Подставляем x = -0.5: -2/3(-0.5)³ + 1/2(-0.5)² + (-0.5) = -2/3(-1/8) + 1/2(1/4) - 0.5 = 1/12 + 1/8 - 0.5 = 1/12 + 3/24 - 12/24 = 1/12 - 9/24 = 1/12 - 3/8 = 1/12 - 9/24 = -5/24.

Теперь вычтем результаты:

1. Площадь = (1/2) - (-5/24) = 1/2 + 5/24 = 12/24 + 5/24 = 17/24.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 2x² и y = x + 1, равна 17/24.