Как найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=5x^2+16x-20 и y=-4x+5?

Математика 11 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь фигуры ограниченные линии y=5x^2+16x-20 y=-4x+5 математика 11 класс Новый

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 5x^2 + 16x - 20 и y = -4x + 5, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найти точки пересечения кривых

Для начала нужно найти точки, в которых две функции пересекаются. Это можно сделать, приравняв их друг к другу:

1. 5x^2 + 16x - 20 = -4x + 5
2. Переносим все члены в одну сторону: 5x^2 + 16x + 4x - 20 - 5 = 0
3. Упрощаем уравнение: 5x^2 + 20x - 25 = 0
4. Делим на 5: x^2 + 4x - 5 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

1. Дискриминант D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4*1*(-5) = 16 + 20 = 36
2. Корни уравнения: x1 = (-b + sqrt(D)) / 2a и x2 = (-b - sqrt(D)) / 2a
3. Подставляем значения: x1 = (-4 + 6) / 2 = 1 и x2 = (-4 - 6) / 2 = -5

Шаг 2: Найти площадь между кривыми

Теперь, когда мы знаем, что точки пересечения находятся в x = -5 и x = 1, можем найти площадь между кривыми. Площадь можно найти с помощью интеграла:

Площадь S = ∫[a, b] (верхняя функция - нижняя функция) dx, где a и b - это точки пересечения.

В нашем случае:

• Верхняя функция: y = -4x + 5
• Нижняя функция: y = 5x^2 + 16x - 20

Таким образом, площадь S будет равна:

S = ∫[-5, 1] ((-4x + 5) - (5x^2 + 16x - 20)) dx

Упрощаем подынтегральное выражение:

S = ∫[-5, 1] (-5x^2 - 20x + 25) dx

Шаг 3: Вычислить интеграл

Теперь вычислим интеграл:

1. ∫(-5x^2 - 20x + 25) dx = (-5/3)x^3 - 10x^2 + 25x
2. Подставляем пределы интегрирования от -5 до 1:

S = [(-5/3)(1)^3 - 10(1)^2 + 25(1)] - [(-5/3)(-5)^3 - 10(-5)^2 + 25(-5)]

Теперь подставим значения и посчитаем:

• Для x = 1: (-5/3)(1) - 10 + 25 = -5/3 - 10 + 25 = 15 - 5/3 = 45/3 - 5/3 = 40/3
• Для x = -5: (-5/3)(-125) - 10(25) - 125 = 625/3 - 250 - 125 = 625/3 - 375/3 = 250/3

Теперь подставляем:

S = (40/3) - (250/3) = -210/3 = -70

Шаг 4: Найти абсолютное значение

Площадь не может быть отрицательной, поэтому берем абсолютное значение:

Площадь S = 70.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми, равна 70.