Как найти площадь плоской фигуры, ограниченной следующими линиями: y=x^2-2x+2; y=0; x=2; x=-1?

Математика 11 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь плоской фигуры математические задачи интегралы графики функций вычисление площади Новый

Чтобы найти площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Определим границы интегрирования.

   У нас есть две вертикальные линии: x = -1 и x = 2. Эти линии будут границами интегрирования.

2. Найдем уравнение функции.

   Функция, ограничивающая фигуру сверху, задана уравнением:

   y = x^2 - 2x + 2.

   Это квадратная функция, и её график будет параболой, открытой вверх.

3. Найдем точки пересечения функции с осью абсцисс.

   Для этого приравняем функцию к нулю:

   x^2 - 2x + 2 = 0.

   Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

   D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4*1*2 = 4 - 8 = -4.

   Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Это значит, что график функции не пересекает ось абсцисс (y=0).

4. Построим график функции.

   Парабола y = x^2 - 2x + 2 имеет минимум в точке x = 1 (вычисляется по формуле -b/2a). Подставим x = 1 в уравнение:

   y = 1^2 - 2*1 + 2 = 1.

   Таким образом, вершина параболы находится в точке (1, 1).

5. Найдем площадь фигуры.

   Площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осью абсцисс, можно найти с помощью интеграла:

   P = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx, где f(x) - верхняя функция, g(x) - нижняя функция.

   В нашем случае g(x) = 0, так как мы рассматриваем область над осью абсцисс:

   P = ∫[-1, 2] (x^2 - 2x + 2) dx.

6. Вычислим интеграл.

   Сначала найдем неопределенный интеграл:

   ∫(x^2 - 2x + 2) dx = (1/3)x^3 - x^2 + 2x + C.

   Теперь подставим пределы интегрирования:

   P = [(1/3)(2^3) - (2^2) + 2*2] - [(1/3)(-1^3) - (-1^2) + 2*(-1)].

   Вычислим:

   • Для x = 2: (1/3)*8 - 4 + 4 = 8/3.
   • Для x = -1: -(1/3) - 1 - 2 = - (1/3) - 3 = - (10/3).

   Теперь вычтем:

   P = (8/3) - (-10/3) = (8/3) + (10/3) = 18/3 = 6.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна 6 квадратных единиц.