Как найти предел при х, стремящемся к 0: Lim(1 - sin²(2x))^(1/(1 - cos(4x)))?

Математика 11 класс Пределы и бесконечности предел математический анализ лимит sin cos x стремится к 0 вычисление предела функции тригонометрические функции 11 класс математика Новый

Для нахождения предела выражения Lim(1 - sin²(2x))^(1/(1 - cos(4x))) при x, стремящемся к 0, начнем с анализа каждого компонента выражения.

1. **Упрощение выражения**:

• Мы знаем, что sin²(2x) = 1 - cos²(2x), поэтому 1 - sin²(2x) = cos²(2x).
• Таким образом, мы можем переписать предел как Lim(cos²(2x))^(1/(1 - cos(4x))).

2. **Рассмотрим предел 1 - cos(4x) при x → 0:

• Используем известное приближение cos(t) ≈ 1 - t²/2 при малых t. Здесь t = 4x, поэтому cos(4x) ≈ 1 - (4x)²/2 = 1 - 8x².
• Следовательно, 1 - cos(4x) ≈ 8x².

3. **Теперь найдем предел cos²(2x) при x → 0:

• При x → 0, 2x → 0, и cos(2x) → 1.
• Таким образом, cos²(2x) → 1.

4. **Теперь мы можем подставить полученные значения в предел:

• Предел принимает вид: Lim(cos²(2x))^(1/(1 - cos(4x))) = Lim(1)^(1/(8x²)).
• Здесь мы видим, что 1^(что угодно) = 1, если что угодно не стремится к бесконечности.

5. **Проверим, стремится ли 1/(1 - cos(4x)) к бесконечности:

• Поскольку 1 - cos(4x) ≈ 8x², то 1/(1 - cos(4x)) ≈ 1/(8x²), и это стремится к бесконечности при x → 0.

6. **Итак, у нас есть форма 1^∞, которую нужно рассмотреть более внимательно:

• Чтобы решить эту неопределенность, применим логарифмическое преобразование:

7. **Применяем логарифм к пределу:

• Обозначим y = (cos²(2x))^(1/(1 - cos(4x))).
• Тогда ln(y) = (1/(1 - cos(4x))) * ln(cos²(2x)).

8. **Теперь мы можем найти предел Lim ln(y):

• При x → 0, ln(cos²(2x)) → ln(1) = 0.
• Таким образом, Lim ln(y) = Lim(1/(8x²)) * ln(cos²(2x)).
• Используя правило Лопиталя, можно показать, что этот предел стремится к 0.

9. **Следовательно, возвращаясь к y, получаем:

• Lim ln(y) = 0, что означает, что Lim y = e^0 = 1.

Таким образом, предел Lim(1 - sin²(2x))^(1/(1 - cos(4x))) = 1.