Как найти промежутки, на которых функция f(х)=х³-3х²-36 убывает?

Математика 11 класс Анализ функций промежутки убывания функции функция f(x) нахождение убывания математика 11 класс анализ функции Новый

Чтобы найти промежутки, на которых функция f(x) = x³ - 3x² - 36 убывает, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Найдите производную функции f(x).

   Производная функции показывает, как изменяется значение функции при изменении x. Для функции f(x) = x³ - 3x² - 36 производная f'(x) будет равна:

   f'(x) = 3x² - 6x.

2. Найдите критические точки.

   Критические точки — это значения x, при которых производная равна нулю или не существует. Для нахождения критических точек решим уравнение:

   3x² - 6x = 0.

   Вынесем общий множитель:

   3x(x - 2) = 0.

   Таким образом, критические точки: x = 0 и x = 2.

3. Определите знаки производной на интервалах.

   Теперь мы должны проверить знаки производной f'(x) на интервалах, которые определяются критическими точками. У нас есть три интервала:

   • (-∞, 0)
   • (0, 2)
   • (2, +∞)

   Теперь проверим знак производной на каждом из этих интервалов:

   • Для интервала (-∞, 0): возьмем, например, x = -1.

   f'(-1) = 3(-1)² - 6(-1) = 3 + 6 = 9 (положительное).

   • Для интервала (0, 2): возьмем, например, x = 1.

   f'(1) = 3(1)² - 6(1) = 3 - 6 = -3 (отрицательное).

   • Для интервала (2, +∞): возьмем, например, x = 3.

   f'(3) = 3(3)² - 6(3) = 27 - 18 = 9 (положительное).

4. Сделайте выводы о промежутках убывания.

   Теперь мы можем сделать вывод о том, где функция убывает:

   • На интервале (-∞, 0) производная положительная, значит функция возрастает.
   • На интервале (0, 2) производная отрицательная, значит функция убывает.
   • На интервале (2, +∞) производная положительная, значит функция возрастает.

   Таким образом, функция f(x) убывает на промежутке (0, 2).

Итак, мы нашли, что функция f(x) = x³ - 3x² - 36 убывает на промежутке (0, 2).