Чтобы найти точки экстремумов функции y = 8x² - (x⁴)/4, нам нужно выполнить несколько шагов. Экстремумы функции находятся в точках, где первая производная равна нулю или не существует. Давайте рассмотрим процесс шаг за шагом.

1. Найдем первую производную функции.

   Функция y = 8x² - (x⁴)/4. Чтобы найти первую производную, применим правило дифференцирования:

   • Производная от 8x² равна 16x.
   • Производная от -(x⁴)/4 равна -x³.

   Таким образом, первая производная будет:

   y' = 16x - x³.

   • Приравняем первую производную к нулю.

     Теперь мы должны решить уравнение:

     16x - x³ = 0.

     Вынесем x за скобки:

     x(16 - x²) = 0.

     Теперь у нас есть два множителя, которые мы можем приравнять к нулю:

     • x = 0,
     • 16 - x² = 0.

     Решим второе уравнение:

     x² = 16, отсюда x = ±4.

     Таким образом, мы нашли три критические точки: x = 0, x = 4 и x = -4.

   • Найдем значения функции в этих точках.

     Теперь подставим найденные значения x обратно в исходную функцию y:

     • Для x = 0: y(0) = 8(0)² - (0⁴)/4 = 0.
     • Для x = 4: y(4) = 8(4)² - (4⁴)/4 = 8(16) - (256)/4 = 128 - 64 = 64.
     • Для x = -4: y(-4) = 8(-4)² - ((-4)⁴)/4 = 8(16) - (256)/4 = 128 - 64 = 64.
   • Определим тип экстремума.

     Для этого мы можем использовать вторую производную или метод теста на знак первой производной. Найдем вторую производную:

     y'' = 16 - 3x².

     Теперь подставим критические точки:

     • Для x = 0: y''(0) = 16 - 3(0)² = 16 (положительное значение, значит, точка - минимум).
     • Для x = 4: y''(4) = 16 - 3(4)² = 16 - 48 = -32 (отрицательное значение, значит, точка - максимум).
     • Для x = -4: y''(-4) = 16 - 3(-4)² = 16 - 48 = -32 (отрицательное значение, значит, точка - максимум).

Итак, мы пришли к следующим выводам:

• Точка x = 0 является минимумом, значение функции в этой точке равно 0.
• Точки x = 4 и x = -4 являются максимумами, значение функции в этих точках равно 64.