Чтобы найти точки графика функции, в которых касательная параллельна оси абсцисс, нам нужно определить, при каких значениях x производная функции равна нулю. Это связано с тем, что касательная параллельна оси абсцисс, когда её наклон (производная) равен нулю.

Вот пошаговая инструкция для решения данной задачи:

1. Найдите производную функции f(x).
2. Решите уравнение f'(x) = 0.
3. Найдите соответствующие значения f(x) для найденных x.

Теперь применим этот алгоритм к каждой из указанных функций.

1. f(x) = x³ - 3x² + 3x

1. Находим производную: f'(x) = 3x² - 6x + 3.
2. Решаем уравнение: 3x² - 6x + 3 = 0. Делим на 3: x² - 2x + 1 = 0. Это уравнение имеет корень x = 1 (двойной корень).
3. Находим значение функции: f(1) = 1³ - 3(1)² + 3(1) = 1 - 3 + 3 = 1. Таким образом, точка (1, 1).

2. f(x) = 3x² - 6x + 2

1. Находим производную: f'(x) = 6x - 6.
2. Решаем уравнение: 6x - 6 = 0, x = 1.
3. Находим значение функции: f(1) = 3(1)² - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1. Таким образом, точка (1, -1).

3. f(x) = 2 cos x + x

1. Находим производную: f'(x) = -2 sin x + 1.
2. Решаем уравнение: -2 sin x + 1 = 0, sin x = 1/2. Это дает x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ, где k - целое число.
3. Находим значения функции для этих x: f(π/6) и f(5π/6).

4. f(x) = cos(x - π/3)

1. Находим производную: f'(x) = -sin(x - π/3).
2. Решаем уравнение: -sin(x - π/3) = 0, sin(x - π/3) = 0, x - π/3 = kπ, x = kπ + π/3.
3. Находим значения функции для этих x: f(kπ + π/3).

5. f(x) = ½ x² + 16x

1. Находим производную: f'(x) = x + 16.
2. Решаем уравнение: x + 16 = 0, x = -16.
3. Находим значение функции: f(-16) = ½(-16)² + 16(-16) = 128 - 256 = -128. Таким образом, точка (-16, -128).

6. f(x) = x³ - 3x + 1

1. Находим производную: f'(x) = 3x² - 3.
2. Решаем уравнение: 3(x² - 1) = 0, x = ±1.
3. Находим значения функции: f(1) и f(-1).

7. f(x) = sin 2x + √3 x

1. Находим производную: f'(x) = 2 cos 2x + √3.
2. Решаем уравнение: 2 cos 2x + √3 = 0, cos 2x = -√3/2. Это дает x = (2π/3 + kπ)/2 и x = (4π/3 + kπ)/2.
3. Находим значения функции для этих x: f((2π/3 + kπ)/2) и f((4π/3 + kπ)/2).

8. f(x) = √(2x) - 2 sin x

1. Находим производную: f'(x) = 1/(√(2x)) - 2 cos x.
2. Решаем уравнение: 1/(√(2x)) - 2 cos x = 0, 1/(√(2x)) = 2 cos x.
3. Находим значения функции для найденных x.

Таким образом, для каждой функции мы нашли точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс. Не забудьте проверить, что значения, которые вы нашли, соответствуют условиям задачи.