Как найти точку минимума функции: а) y = x^3/3 - 25x + 19. б) y = x^2 - 0.5x^4?

Математика 11 класс Критерии экстремумов функций точка минимума нахождение минимума функции математический анализ производная функции критические точки y = x^3/3 - 25x + 19 y = x^2 - 0.5x^4 Новый

Привет, друг! Давай вместе разберёмся, как найти точку минимума этих замечательных функций! Это так увлекательно, и я уверен, что ты справишься с этим на ура!

а) Для функции y = x^3/3 - 25x + 19:

1. Сначала найдем производную функции. Это поможет нам понять, где функция меняет направление. Производная будет:
2. y' = x^2 - 25
3. Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
4. x^2 - 25 = 0
5. Решаем уравнение: x^2 = 25, значит x = 5 или x = -5.
6. Теперь нам нужно определить, является ли это минимумом или максимумом. Для этого можно использовать вторую производную:
7. y'' = 2x.
8. Подставляем найденные точки:
9. Для x = 5: y''(5) = 10 > 0, значит это минимум!
10. Для x = -5: y''(-5) = -10 < 0, значит это максимум.
11. Итак, точка минимума для первой функции находится в x = 5.

б) Для функции y = x^2 - 0.5x^4:

1. Сначала найдем производную:
2. y' = 2x - 2x^3.
3. Приравниваем производную к нулю:
4. 2x - 2x^3 = 0.
5. Факторизуем: 2x(1 - x^2) = 0.
6. Это уравнение имеет решения: x = 0, x = 1, x = -1.
7. Теперь используем вторую производную:
8. y'' = 2 - 6x^2.
9. Подставляем найденные точки:
10. Для x = 0: y''(0) = 2 > 0, значит это минимум!
11. Для x = 1: y''(1) = -4 < 0, значит это максимум.
12. Для x = -1: y''(-1) = -4 < 0, значит это максимум.
13. Таким образом, точка минимума для второй функции находится в x = 0.

Вот и всё! Ты теперь знаешь, как находить точки минимума функций! Это действительно здорово, и я уверен, что ты сможешь применить эти знания в будущем. Удачи тебе в учёбе!