Давайте разберем каждый из ваших вопросов по порядку.

1. Угол между векторами a и b с помощью скалярного произведения:

Для нахождения угла между двумя векторами a и b, мы используем формулу скалярного произведения:

cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|)

Где:

• θ - угол между векторами a и b;
• a · b - скалярное произведение векторов;
• |a| и |b| - длины (модуль) векторов a и b соответственно.

Шаги решения:

1. Сначала найдем скалярное произведение векторов a и b:
• a = {1; 2; -1}, b = {2; 2; -2}
• a · b = 1*2 + 2*2 + (-1)*(-2) = 2 + 4 + 2 = 8
2. Теперь найдем длины векторов:
• |a| = √(1² + 2² + (-1)²) = √(1 + 4 + 1) = √6
• |b| = √(2² + 2² + (-2)²) = √(4 + 4 + 4) = √12 = 2√3
3. Подставляем значения в формулу:
• cos(θ) = 8 / (√6 * 2√3) = 8 / (2√18) = 8 / (6√2) = 4 / (3√2)
4. Теперь находим угол θ, используя арккосинус:
• θ = arccos(4 / (3√2))

2. Площадь треугольника с помощью векторного произведения:

Чтобы найти площадь треугольника, заданного тремя точками A, B и C, мы можем использовать векторное произведение:

Площадь = 0.5 * |AB × AC|

Шаги решения:

1. Сначала найдем векторы AB и AC:
• AB = B - A = {2 - 1; 3 - 1; 4 - 1} = {1; 2; 3}
• AC = C - A = {4 - 1; 3 - 1; 2 - 1} = {3; 2; 1}
2. Теперь найдем векторное произведение AB и AC:
• AB × AC = |i j k|
• |1 2 3|
• |3 2 1|
• Вычисляем определитель:
• i(2*1 - 3*2) - j(1*1 - 3*3) + k(1*2 - 2*3) = i(2 - 6) - j(1 - 9) + k(2 - 6)
• Это дает: AB × AC = {-4; 8; -4}
3. Теперь находим модуль векторного произведения:
• |AB × AC| = √((-4)² + 8² + (-4)²) = √(16 + 64 + 16) = √96 = 4√6
4. И, наконец, находим площадь треугольника:
• Площадь = 0.5 * |AB × AC| = 0.5 * 4√6 = 2√6

3. Построение пирамиды и нахождение объема:

Для нахождения объема пирамиды с вершинами A, B, C и D, мы используем формулу:

Объем = (1/3) * S * h

где S - площадь основания (треугольника ABC), h - высота пирамиды.

Уже нашли площадь треугольника ABC, она равна 2√6.

Теперь найдем высоту пирамиды, опущенную на грань AB:

Для этого нужно найти уравнение плоскости ABC:

• Используем векторы AB и AC, чтобы найти нормальный вектор:
• Нормальный вектор N = AB × AC = {-4; 8; -4} (уже вычислено).
• Уравнение плоскости имеет вид: N1(x - x0) + N2(y - y0) + N3(z - z0) = 0, где (x0, y0, z0) - координаты точки A.
• Подставляем значения и находим уравнение плоскости.

Для нахождения расстояния от точки D до плоскости, используем формулу:

d = |Ax + By + Cz + D| / √(A² + B² + C²)

где A, B, C - координаты нормального вектора, D - свободный член уравнения плоскости.

Объем пирамиды будет равен:

Объем = (1/3) * S * h

Где S - площадь треугольника ABC, h - высота (расстояние от D до плоскости ABC).

Касательно чертежа: да, можно построить чертеж, используя координаты вершин A, B, C и D. Это поможет визуализировать пирамиду и понять ее структуру.

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!