Как найти уравнение касательной плоскости и нормали в точке A (1;1;-1) для поверхности, заданной уравнением 2sqrt(xy)+xz-yz^2=0?

Математика 11 класс Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности уравнение касательной плоскости нормаль в точке поверхность 2sqrt(xy)+xz-yz^2=0 математика 11 класс Новый

Чтобы найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением 2sqrt(xy) + xz - yz^2 = 0, в точке A(1; 1; -1), нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдите частные производные функции

Сначала нужно выразить функцию в виде F(x, y, z) = 2sqrt(xy) + xz - yz^2. Затем найдем частные производные этой функции по переменным x, y и z.

• Частная производная по x:

  F_x = ∂F/∂x = (1/sqrt(xy)) * (y) + z = y/(sqrt(xy)) + z.

• Частная производная по y:

  F_y = ∂F/∂y = (1/sqrt(xy)) * (x) - z^2 = x/(sqrt(xy)) - z^2.

• Частная производная по z:

  F_z = ∂F/∂z = x - 2yz.

Шаг 2: Подставьте координаты точки A в частные производные

Теперь подставим координаты точки A(1; 1; -1) в найденные частные производные.

• F_x(1, 1, -1) = 1/(sqrt(1*1)) + (-1) = 1 - 1 = 0.
• F_y(1, 1, -1) = 1/(sqrt(1*1)) - (-1)^2 = 1 - 1 = 0.
• F_z(1, 1, -1) = 1 - 2*1*(-1) = 1 + 2 = 3.

Шаг 3: Запишите уравнение касательной плоскости

Уравнение касательной плоскости в точке A можно записать в следующем виде:

F_x(x - x_0) + F_y(y - y_0) + F_z(z - z_0) = 0,

где (x_0, y_0, z_0) - координаты точки A(1, 1, -1).

Подставляя значения, получаем:

0*(x - 1) + 0*(y - 1) + 3*(z + 1) = 0.

Это упрощается до:

3(z + 1) = 0,

или z = -1.

Шаг 4: Запишите уравнение нормали

Уравнение нормали можно записать в векторной форме:

(x - 1)/F_x = (y - 1)/F_y = (z + 1)/F_z.

Так как F_x и F_y равны нулю, нормаль будет направлена вдоль оси z:

(x - 1)/0 = (y - 1)/0 = (z + 1)/3.

Это означает, что x и y остаются постоянными, а z изменяется.

Итак, итоговые уравнения:

• Уравнение касательной плоскости: z = -1.
• Уравнение нормали: x = 1, y = 1, z = -1 + 3t, где t - параметр.