Для того чтобы найти значение выражения tg^4 A + ctg^4 A при условии, что tg A + ctg A = 3, мы можем воспользоваться некоторыми алгебраическими преобразованиями.

Давайте обозначим:

• x = tg A
• y = ctg A

Из условия задачи мы знаем, что:

x + y = 3.

Также, мы знаем, что:

xy = tg A * ctg A = 1,

так как tg A * ctg A = 1 по определению этих функций.

Теперь мы можем выразить tg^4 A + ctg^4 A через x и y:

tg^4 A + ctg^4 A = x^4 + y^4.

Для нахождения x^4 + y^4, мы можем использовать формулу:

x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2.

Сначала найдем x^2 + y^2. Мы знаем, что:

(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy.

Подставим известные значения:

3^2 = x^2 + y^2 + 2 * 1.

Это дает нам:

9 = x^2 + y^2 + 2.

Таким образом:

x^2 + y^2 = 9 - 2 = 7.

Теперь найдем x^2y^2:

x^2y^2 = (xy)^2 = 1^2 = 1.

Теперь подставим найденные значения в формулу для x^4 + y^4:

x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2.

Подставляем:

x^4 + y^4 = 7^2 - 2 * 1 = 49 - 2 = 47.

Таким образом, значение tg^4 A + ctg^4 A равно: