Как определить высоту конуса с минимальным объемом, который окружает полушар радиуса R, если центр основания конуса совпадает с центром основания шара?

Математика 11 класс Оптимизация объемов фигур высота конуса минимальный объем полушар радиуса R центр основания конус и полушар геометрические задачи оптимизация объема конуса Новый

Для решения данной задачи мы будем использовать свойства конуса и полушара, а также методы оптимизации. Давайте разберем шаги, которые помогут нам определить высоту конуса с минимальным объемом, который окружает полушар радиуса R.

Шаг 1: Определение объемов

Объем V конуса можно выразить через его радиус основания r и высоту h по формуле:

V = (1/3) * π * r² * h

Объем полушара радиуса R равен:

V_шар = (2/3) * π * R³

Шаг 2: Связь между радиусом основания конуса и высотой

Так как конус окружает полушар, радиус основания конуса r и высота h связаны. Мы можем использовать треугольник, образованный радиусом основания, высотой конуса и радиусом полушара. В этом треугольнике:

• r - радиус основания конуса;
• h - высота конуса;
• R - радиус полушара.

Согласно геометрии, мы можем записать соотношение:

r² + (R - h)² = R²

Упростив, получаем:

r² = R² - (R - h)² = R² - (R² - 2Rh + h²) = 2Rh - h²

Шаг 3: Подстановка радиуса в формулу объема

Теперь мы можем выразить объем V конуса через h:

V(h) = (1/3) * π * (2Rh - h²) * h

Упрощаем это выражение:

V(h) = (1/3) * π * (2Rh² - h³)

Шаг 4: Нахождение минимума объема

Чтобы найти минимальный объем, необходимо взять производную V(h) по h и приравнять ее к нулю:

V'(h) = (1/3) * π * (4Rh - 3h²)

Приравниваем производную к нулю:

4Rh - 3h² = 0

Решаем это уравнение:

• 3h² = 4Rh
• h(3h - 4R) = 0

Отсюда мы получаем два решения: h = 0 и h = (4/3)R. Поскольку h = 0 не имеет физического смысла, мы берем h = (4/3)R.

Шаг 5: Проверка второго производного теста

Для подтверждения того, что это минимум, мы можем проверить вторую производную:

V''(h) = (1/3) * π * (4R - 6h)

Подставляя h = (4/3)R:

V''((4/3)R) = (1/3) * π * (4R - 6 * (4/3)R) = (1/3) * π * (4R - 8R) = (1/3) * π * (-4R),

что меньше нуля. Это подтверждает, что h = (4/3)R является точкой минимума.

Ответ:

Таким образом, высота конуса с минимальным объемом, который окружает полушар радиуса R, равна:

h = (4/3)R.