Как построить сечение куба abcda1b1c1d1 плоскостью, которая проходит через середины ребер ab, bb1 и b1c1, и как найти угол между этим сечением и плоскостью авс?

Математика 11 класс Сечения многогранников построить сечение куба плоскость через середины ребер угол между сечением и плоскостью Новый

Для решения данной задачи, давайте последовательно разберем все шаги.

Шаг 1: Определение координат вершин куба.

Предположим, что наш куб имеет следующие координаты вершин:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)
• A1(0, 0, 1)
• B1(1, 0, 1)
• C1(1, 1, 1)
• D1(0, 1, 1)

Шаг 2: Находим середины ребер.

Теперь найдем координаты середины каждого из указанных ребер:

• Середина ребра AB: M1 = ((0 + 1)/2, (0 + 0)/2, (0 + 0)/2) = (0.5, 0, 0)
• Середина ребра BB1: M2 = ((1 + 1)/2, (0 + 0)/2, (0 + 1)/2) = (1, 0, 0.5)
• Середина ребра B1C1: M3 = ((1 + 1)/2, (0 + 1)/2, (1 + 1)/2) = (1, 0.5, 1)

Шаг 3: Определение уравнения плоскости, проходящей через точки M1, M2 и M3.

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три точки, мы можем использовать векторное произведение. Сначала найдем два вектора, лежащих в плоскости:

• V1 = M2 - M1 = (1 - 0.5, 0 - 0, 0.5 - 0) = (0.5, 0, 0.5)
• V2 = M3 - M1 = (1 - 0.5, 0.5 - 0, 1 - 0) = (0.5, 0.5, 1)

Теперь найдем векторное произведение V1 и V2, чтобы получить нормальный вектор плоскости:

• N = V1 × V2 = (0.5, 0, 0.5) × (0.5, 0.5, 1)

Вычисляя, мы получаем:

• N = (0*1 - 0.5*0.5, 0.5*0.5 - 0.5*0.5, 0.5*0.5 - 0*0.5) = (-0.25, 0, 0.25)

Упрощая, получаем нормальный вектор N = (-1, 0, 1).

Теперь мы можем записать уравнение плоскости в виде:

-x + z = d, где d - это значение, найденное подставлением одной из точек, например, M1.

-0.5 + 0 = d, значит, d = -0.5.

Таким образом, уравнение плоскости: -x + z = -0.5.

Шаг 4: Находим угол между плоскостями.

Теперь нам нужно найти угол между плоскостью ABC и плоскостью, которую мы только что нашли. Плоскость ABC имеет нормальный вектор N1 = (0, 0, 1).

Угол между двумя плоскостями можно найти с помощью формулы:

cos(θ) = |N1 · N2| / (|N1| * |N2|),

где N1 и N2 - нормальные векторы плоскостей.

Нормальный вектор N2 = (-1, 0, 1).

Теперь находим скалярное произведение:

• N1 · N2 = (0, 0, 1) · (-1, 0, 1) = 0* -1 + 0*0 + 1*1 = 1.

Теперь найдем длины векторов:

• |N1| = √(0^2 + 0^2 + 1^2) = 1.
• |N2| = √((-1)^2 + 0^2 + 1^2) = √2.

Теперь подставляем в формулу:

• cos(θ) = |1| / (1 * √2) = 1 / √2.

Следовательно, угол θ = 45 градусов.

Итак, мы построили сечение куба плоскостью и нашли угол между этим сечением и плоскостью ABC. Угол составляет 45 градусов.