Как провести исследование функции f(x) = x в степени 4?

Математика 11 класс Исследование функций исследование функции f(x) = x^4 график функции свойства функции экстремумы функции Новый

Чтобы провести исследование функции f(x) = x в степени 4, необходимо выполнить несколько шагов. Мы будем анализировать свойства функции, такие как область определения, знаки, производные, экстремумы и поведение на бесконечности. Давайте рассмотрим эти шаги подробнее.

1. Область определения:

   Функция f(x) = x^4 определена для всех действительных чисел. То есть, область определения функции D = R.

2. Знаки функции:

   Для определения знаков функции, рассмотрим, как ведет себя функция на разных интервалах:

   • Для x < 0: f(x) = x^4 > 0 (функция положительна).
   • Для x = 0: f(0) = 0.
   • Для x > 0: f(x) = x^4 > 0 (функция положительна).

   Таким образом, функция не принимает отрицательных значений, и ноль является единственной точкой, где f(x) = 0.

3. Нахождение производной:

   Для исследования поведения функции найдем первую производную:

   f'(x) = 4x^3.

   Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

   4x^3 = 0 => x = 0.

4. Анализ знаков производной:

   Теперь определим, на каких интервалах производная положительна или отрицательна:

   • Для x < 0: f'(x) < 0 (функция убывает).
   • Для x = 0: f'(0) = 0 (критическая точка).
   • Для x > 0: f'(x) > 0 (функция возрастает).

   Таким образом, в точке x = 0 находится минимум функции.

5. Нахождение второй производной:

   Чтобы определить характер критической точки, найдем вторую производную:

   f''(x) = 12x^2.

   При x = 0: f''(0) = 0.

   Для x ≠ 0: f''(x) > 0, следовательно, функция выпуклая.

6. Поведение на бесконечности:

   Теперь рассмотрим поведение функции на бесконечности:

   • При x → +∞, f(x) → +∞.
   • При x → -∞, f(x) → +∞.

   Это говорит о том, что график функции стремится к бесконечности в обоих направлениях.

7. График функции:

   Функция f(x) = x^4 имеет форму параболы, направленной вверх, с минимумом в точке (0, 0). График симметричен относительно оси Y.

Таким образом, мы провели полное исследование функции f(x) = x^4. Мы выяснили, что функция имеет минимум в точке (0, 0), положительна на всех остальных интервалах и стремится к бесконечности на краях области определения.