Как решить дифференциальное уравнение: (1+x)ydx=(y-1)xdy; при условии y=1 и x=1?

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения решение дифференциального уравнения математика 11 класс y=1 и x=1 метод решения уравнений Дифференциальные уравнения математические задачи Новый

Для решения данного дифференциального уравнения начнем с его упрощения. Уравнение дано в виде:

(1+x)ydx = (y-1)xdy

Для удобства мы можем привести все члены уравнения к одной стороне, чтобы получить уравнение в стандартной форме:

(1+x)ydx - (y-1)xdy = 0

Теперь мы можем разделить переменные. Для этого сначала выразим dx и dy:

Перепишем уравнение так:

(1+x)ydx = (y-1)xdy

Теперь разделим обе стороны на (y-1)x и (1+x)y:

dx / x = (y-1)/(1+x)dy / y

Теперь мы можем интегрировать обе стороны:

Левая часть:

∫(1/x)dx = ln|x| + C₁

Правая часть:

∫(y-1)/(1+x)dy / y

Теперь давайте упростим правую часть. Для этого мы можем использовать подстановку или разложить дробь.

После выполнения интегрирования обеих сторон, мы получаем:

ln|x| = F(y) + C

где F(y) - это результат интегрирования правой части.

Теперь применим начальные условия y=1 и x=1. Подставим эти значения в полученное уравнение:

ln|1| = F(1) + C

Поскольку ln(1) = 0, мы получаем:

0 = F(1) + C

Теперь нам нужно найти значение F(1) и подставить его в уравнение. После этого мы сможем найти значение C.

После нахождения C, мы можем подставить его обратно в общее решение и получить конкретное решение с учетом начальных условий.

Итак, итоговые шаги:

• Привести уравнение к стандартному виду.
• Разделить переменные и интегрировать обе стороны.
• Применить начальные условия для нахождения константы интегрирования.
• Записать общее решение с учетом начальных условий.

Если у вас остались вопросы по конкретным шагам, пожалуйста, уточните, и я помогу вам разобраться!