Как решить дифференциальное уравнение и найти частное решение (xy^2+x)dx+(x^2y-y)dy=0 при условии y=1, когда x=0?

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение частное решение решение уравнения математика 11 класс xy^2+x x^2y-y условия задачи метод решения математический анализ Новый

Для решения данного дифференциального уравнения, сначала перепишем его в стандартной форме:

(xy² + x)dx + (x²y - y)dy = 0.

Теперь мы можем выразить уравнение в виде:

dy/dx = -(xy² + x) / (x²y - y).

Следующим шагом будет проверка, является ли данное уравнение полным. Для этого мы найдем производные:

• M(x, y) = xy² + x,
• N(x, y) = x²y - y.

Теперь вычислим частные производные:

• ∂M/∂y = 2xy,
• ∂N/∂x = 2xy.

Поскольку ∂M/∂y = ∂N/∂x, уравнение является полным, и мы можем найти функцию ψ(x, y), такую что:

∂ψ/∂x = M(x, y) и ∂ψ/∂y = N(x, y).

Теперь найдем ψ(x, y):

1. Интегрируем M по x:

ψ(x, y) = ∫(xy² + x)dx = (1/2)x²y² + x²/2 + h(y), где h(y) - функция произвольной функции y.

2. Теперь найдем ∂ψ/∂y:

∂ψ/∂y = (1/2)x²(2y) + h'(y) = x²y + h'(y).

3. Приравниваем это к N:

x²y + h'(y) = x²y - y.

4. Отсюда получаем h'(y) = -y, что дает h(y) = -y²/2 + C, где C - константа интегрирования.
5. Теперь подставляем h(y) обратно в ψ:

ψ(x, y) = (1/2)x²y² + (1/2)x² - (1/2)y² + C = 0.

Теперь у нас есть общее решение:

(1/2)x²y² + (1/2)x² - (1/2)y² = C.

Теперь найдем частное решение при условии y = 1, когда x = 0:

Подставим x = 0 и y = 1 в общее решение:

(1/2)(0)²(1)² + (1/2)(0)² - (1/2)(1)² = C.

Это упрощается до:

0 - 0 - (1/2) = C, следовательно, C = -1/2.

Теперь подставим значение C обратно в общее решение:

(1/2)x²y² + (1/2)x² - (1/2)y² = -1/2.

Это и есть частное решение данного дифференциального уравнения при заданных условиях.