Как решить интеграл ∫(1+x)/√(1-x²)dx? Пожалуйста, предоставьте подробное решение.

Математика 11 класс Интегралы решение интеграла интеграл ∫(1+x)/√(1-x²)dx математика 11 класс подробное решение интеграла методы интегрирования Новый

Чтобы решить интеграл ∫(1+x)/√(1-x²)dx, давайте разобьем его на две части. Мы можем записать интеграл как сумму двух интегралов:

∫(1+x)/√(1-x²)dx = ∫1/√(1-x²)dx + ∫x/√(1-x²)dx.

Теперь решим каждый из этих интегралов по отдельности.

1. Решаем интеграл ∫1/√(1-x²)dx:

Этот интеграл известен и равен arcsin(x) + C, где C - произвольная постоянная. Это происходит потому, что производная arcsin(x) равна 1/√(1-x²).

2. Решаем интеграл ∫x/√(1-x²)dx:

Для этого интеграла мы можем использовать метод подстановки. Пусть:

• u = 1 - x²,
• du = -2x dx,
• dx = -du/(2x).

Теперь подставим это в интеграл:

∫x/√(1-x²)dx = ∫x/√u * (-du/(2x)) = -1/2 ∫1/√u du.

Интеграл ∫1/√u du равен 2√u + C, поэтому:

-1/2 * (2√u) = -√u + C = -√(1-x²) + C.

3. Объединяем результаты:

Теперь мы можем объединить результаты двух интегралов:

∫(1+x)/√(1-x²)dx = arcsin(x) - √(1-x²) + C.

Таким образом, окончательный ответ:

∫(1+x)/√(1-x²)dx = arcsin(x) - √(1-x²) + C.