Как решить систему уравнений:

1. log₅x + log₅y = 1
2. 2 в степени (x + y - 3) = 8

Математика 11 класс Логарифмические и指数ные уравнения система уравнений логарифмы степень решение уравнений математика 11 класс Новый

Чтобы решить систему уравнений:

• log₅x + log₅y = 1
• 2^(x + y - 3) = 8

начнем с первого уравнения. Мы знаем, что сумма логарифмов равна логарифму произведения. Поэтому мы можем переписать первое уравнение следующим образом:

log₅(xy) = 1

Теперь, чтобы избавиться от логарифма, мы воспользуемся определением логарифма. Если log₅(xy) = 1, это означает, что:

xy = 5^1

Таким образом, мы получаем:

xy = 5

Теперь перейдем ко второму уравнению. Мы знаем, что 8 можно выразить как степень двойки:

8 = 2^3

Поэтому мы можем переписать второе уравнение так:

2^(x + y - 3) = 2^3

Теперь, если основания равны, то и показатели должны быть равны. Это дает нам:

x + y - 3 = 3

Решая это уравнение, мы получаем:

x + y = 6

Теперь у нас есть две новых уравнения:

• xy = 5
• x + y = 6

Мы можем выразить y через x из второго уравнения:

y = 6 - x

Теперь подставим это выражение для y в первое уравнение:

x(6 - x) = 5

Раскроем скобки:

6x - x^2 = 5

Переносим все в одну сторону:

-x^2 + 6x - 5 = 0

Умножим на -1, чтобы сделать коэффициент при x^2 положительным:

x^2 - 6x + 5 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу для нахождения корней:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Где a = 1, b = -6, c = 5. Подставим эти значения:

x = (6 ± √((-6)² - 4 1 5)) / (2 * 1)

Считаем дискриминант:

√(36 - 20) = √16 = 4

Теперь подставим дискриминант в формулу:

x = (6 ± 4) / 2

Это дает нам два значения для x:

1. x = (6 + 4) / 2 = 10 / 2 = 5
2. x = (6 - 4) / 2 = 2 / 2 = 1

Теперь подставим эти значения x обратно в уравнение y = 6 - x, чтобы найти соответствующие значения y:

1. Если x = 5, то y = 6 - 5 = 1
2. Если x = 1, то y = 6 - 1 = 5

Таким образом, у нас есть два решения для системы уравнений:

• (x, y) = (5, 1)
• (x, y) = (1, 5)

Эти пары (x, y) удовлетворяют обеим исходным уравнениям.