2025-10-28 12:10:52
Как решить уравнение 16arcctg²x - 16πarcctgx + 3π² = 0?
Математика 11 класс Уравнения с аркфункциями решение уравнения 16arcctg²x 16πarcctgx 3π² математика 11 класс алгебра тригонометрические функции Новый
2025-10-28 12:11:09
Решим уравнение 16arcctg²x - 16πarcctgx + 3π² = 0. Для этого начнем с упрощения уравнения.
Шаг 1: Замена переменной
Введем замену: пусть y = arcctg(x). Тогда arcctg(x) - это угол, который соответствует значению x, и его можно выразить через y. Уравнение примет вид:
16y² - 16πy + 3π² = 0.
Шаг 2: Применение формулы квадратного уравнения
Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы:
y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a,
где a = 16, b = -16π, c = 3π².
Шаг 3: Вычисление дискриминанта
Сначала найдем дискриминант D:
- D = b² - 4ac = (-16π)² - 4 * 16 * 3π².
- D = 256π² - 192π² = 64π².
Шаг 4: Нахождение корней
Теперь подставим D в формулу для нахождения корней:
- y₁ = (16π + √(64π²)) / (2 * 16) = (16π + 8π) / 32 = 24π / 32 = 3π / 4.
- y₂ = (16π - √(64π²)) / (2 * 16) = (16π - 8π) / 32 = 8π / 32 = π / 4.
Шаг 5: Обратная замена
Теперь у нас есть два значения y. Вернемся к переменной x:
- Для y₁ = 3π/4: arcctg(x) = 3π/4, значит x = ctg(3π/4) = -1.
- Для y₂ = π/4: arcctg(x) = π/4, значит x = ctg(π/4) = 1.
Шаг 6: Запись окончательного ответа
Таким образом, решения уравнения 16arcctg²x - 16πarcctgx + 3π² = 0:
- x = -1
- x = 1