2025-10-28 12:11:42
Как решить уравнение 16arcctg²x - 16πarcctgx + 3π² = 0?
Математика 11 класс Уравнения с обратными тригонометрическими функциями уравнение решение математика 11 класс arcctg Тригонометрия алгебра квадратное уравнение π x Новый
2025-10-28 12:11:58
Чтобы решить уравнение 16arcctg²x - 16πarcctgx + 3π² = 0, начнем с того, что обозначим y = arcctg x. Таким образом, наше уравнение можно переписать в более удобной форме:
16y² - 16πy + 3π² = 0
Теперь это квадратное уравнение относительно y. Мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:
y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
В нашем случае:
- a = 16
- b = -16π
- c = 3π²
Теперь подставим эти значения в формулу:
Сначала найдем дискриминант (D):
D = b² - 4ac = (-16π)² - 4 * 16 * 3π²
D = 256π² - 192π² = 64π²
Теперь подставим дискриминант в формулу для y:
y = (16π ± √(64π²)) / (2 * 16)
y = (16π ± 8π) / 32
Теперь найдем два возможных значения для y:
- y₁ = (16π + 8π) / 32 = 24π / 32 = 3π / 4
- y₂ = (16π - 8π) / 32 = 8π / 32 = π / 4
Теперь, когда мы нашли значения y, вернемся к нашему исходному обозначению y = arcctg x:
Решим для x:
- Для y₁ = 3π / 4: arcctg x = 3π / 4
- Для y₂ = π / 4: arcctg x = π / 4
Теперь найдем значения x:
arcctg x = 3π / 4 означает, что:
x = ctg(3π / 4) = -1 (так как ctg(3π / 4) = -1)
arcctg x = π / 4 означает, что:
x = ctg(π / 4) = 1 (так как ctg(π / 4) = 1)
Таким образом, окончательные решения уравнения:
- x = -1
- x = 1
Ответ: x = -1 и x = 1.