Как решить уравнение, допускающее понижение порядка: y'''=x+cos(x)?

Математика 11 класс Уравнения высших порядков уравнение понижение порядка решение уравнения математика 11 класс Дифференциальные уравнения Новый

Для решения уравнения третьего порядка y''' = x + cos(x) мы можем использовать метод понижения порядка. Давайте разберем шаги этого процесса.

1. Определим общее решение однородного уравнения:
• Сначала найдем общее решение однородного уравнения, связанного с данным уравнением. Однородное уравнение имеет вид y''' = 0.
• Решение этого уравнения будет представлять собой полином третьей степени:
• y_h = C1 + C2 * x + C3 * x^2, где C1, C2 и C3 - произвольные константы.
2. Найдем частное решение неоднородного уравнения:
• Теперь нам нужно найти частное решение для уравнения y''' = x + cos(x).
• Поскольку правая часть уравнения состоит из двух частей (x и cos(x)), мы можем искать частное решение y_p в виде суммы:
• y_p = Ax^2 + Bx + C + D * sin(x) + E * cos(x), где A, B, C, D и E - некоторые константы.
3. Вычислим производные:
• Теперь найдем первые три производные y_p:
• y_p' = 2Ax + B + D * cos(x) - E * sin(x),
• y_p'' = 2A - D * sin(x) - E * cos(x),
• y_p''' = -D * cos(x) + E * sin(x).
4. Подставим y_p''' в уравнение:
• Подставляем y_p''' в уравнение y''' = x + cos(x):
• -D * cos(x) + E * sin(x) = x + cos(x).
• Сравниваем коэффициенты:
• Для x: 0 = 1, что невозможно, значит A = 0.
• Для cos(x): -D = 1, отсюда D = -1.
• Для sin(x): E = 0.
• Таким образом, мы можем оставить только линейную часть: y_p = Bx + C - sin(x).
• Теперь подставим y_p в уравнение и найдем B и C, если необходимо.
5. Соберем общее решение:
• Общее решение будет равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения:
• y = y_h + y_p = C1 + C2 * x + C3 * x^2 + Bx + C - sin(x).
6. Определим константы:
• Если у нас есть начальные условия, подставим их, чтобы найти значения C1, C2 и C3.

Таким образом, мы получили общее решение для уравнения y''' = x + cos(x). Не забудьте проверить каждую часть решения и уточнить значения констант, если известны начальные условия.