Как решить уравнение log2(3x+5)=3-log2(x+1)?

Математика 11 класс Логарифмы решение уравнения Логарифмическое уравнение математика 11 класс log2 уравнение с логарифмами Новый

Чтобы решить уравнение log2(3x+5) = 3 - log2(x+1), начнем с того, что мы можем использовать свойства логарифмов для упрощения уравнения.

Первым шагом перенесем log2(x+1) на левую сторону уравнения:

1. log2(3x+5) + log2(x+1) = 3

Теперь воспользуемся свойством логарифмов, которое гласит, что log(a) + log(b) = log(a*b). Применим это свойство:

1. log2((3x+5)(x+1)) = 3

Теперь мы можем избавиться от логарифма, возведя обе стороны уравнения в степень 2:

1. (3x + 5)(x + 1) = 2^3

Поскольку 2^3 = 8, у нас получается:

1. (3x + 5)(x + 1) = 8

Теперь раскроем скобки:

1. 3x^2 + 3x + 5x + 5 = 8
2. 3x^2 + 8x + 5 = 8

Теперь перенесем 8 на левую сторону уравнения:

1. 3x^2 + 8x + 5 - 8 = 0
2. 3x^2 + 8x - 3 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

1. x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Здесь a = 3, b = 8, c = -3. Подставим эти значения в формулу:

1. D = b² - 4ac = 8² - 4 * 3 * (-3) = 64 + 36 = 100
2. Теперь находим корни:
3. x = (-8 ± √100) / (2 * 3)
4. x = (-8 ± 10) / 6

Теперь мы можем найти два возможных значения для x:

1. x1 = (-8 + 10) / 6 = 2 / 6 = 1/3
2. x2 = (-8 - 10) / 6 = -18 / 6 = -3

Теперь нужно проверить, подходят ли найденные значения x для исходного логарифмического уравнения. Логарифм определен только для положительных аргументов.

• Для x1 = 1/3:
  • 3(1/3) + 5 = 1 + 5 = 6 (положительно)
  • 1/3 + 1 = 4/3 (положительно)
• Для x2 = -3:
  • 3(-3) + 5 = -9 + 5 = -4 (отрицательно)
  • Логарифм не определен.

Таким образом, единственным решением уравнения является:

x = 1/3