Как решить уравнение logx/8(32х)=log2(х)?

Математика 11 класс Логарифмы решение уравнения логарифмы математика 11 класс logx/8(32х) log2(х) математические задачи Новый

Для решения уравнения log_x/8(32x) = log₂(x) давайте разберем его шаг за шагом.

1. Прежде всего, вспомним, что логарифм с основанием a от b можно выразить через логарифмы с другим основанием:

• log_a(b) = log_c(b) / log_c(a), где c - любое положительное число, не равное 1.

2. Для нашего уравнения мы можем использовать свойство логарифмов и переписать его:

• log_x/8(32x) = log₂(32x) / log₂(x/8).

3. Теперь подставим это в уравнение:

log₂(32x) / log₂(x/8) = log₂(x)

4. Упростим логарифмы:

• log₂(32x) = log₂(32) + log₂(x) = 5 + log₂(x) (так как 32 = 2⁵).
• log₂(x/8) = log₂(x) - log₂(8) = log₂(x) - 3 (так как 8 = 2³).

5. Подставим это обратно в уравнение:

(5 + log₂(x)) / (log₂(x) - 3) = log₂(x)

6. Теперь умножим обе стороны на (log₂(x) - 3) (при условии, что log₂(x) ≠ 3):

5 + log₂(x) = log₂(x) * (log₂(x) - 3)

7. Раскроем скобки:

5 + log₂(x) = log₂(x)² - 3 * log₂(x)

8. Переносим все в одну сторону:

log₂(x)² - 4 * log₂(x) - 5 = 0

9. Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

• a = 1, b = -4, c = -5.
• D = b² - 4ac = (-4)² - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.

10. Находим корни уравнения:

log₂(x) = (4 ± √36) / 2 = (4 ± 6) / 2

11. Это дает два решения:

• log₂(x) = (4 + 6) / 2 = 10 / 2 = 5, отсюда x = 2⁵ = 32.
• log₂(x) = (4 - 6) / 2 = -2 / 2 = -1, отсюда x = 2^-1 = 1/2.

12. Теперь проверим, подходят ли оба значения для исходного уравнения:

• x = 32: log_32/8(32*32) = log₄(1024) = 5, log₂(32) = 5. Уравнение выполняется.
• x = 1/2: log_1/2/8(32*1/2) = log_1/16(16) = 1, log₂(1/2) = -1. Уравнение не выполняется.

Таким образом, единственное решение уравнения log_x/8(32x) = log₂(x) это x = 32.