Для решения уравнения (x²-2x-5)²-2x²+4x+7=0 с помощью замены t, давайте сначала упростим наше уравнение, введя новую переменную.

Шаг 1: Вводим замену

• Обозначим t = x² - 2x - 5. Тогда наше уравнение можно переписать как:
• (t)² - 2x² + 4x + 7 = 0.

Шаг 2: Подставляем t в уравнение

• Теперь, чтобы выразить 2x² - 4x, воспользуемся выражением для t:
• Преобразуем t: x² = t + 2x + 5.
• Подставим x² в 2x² - 4x:
• 2x² = 2(t + 2x + 5) = 2t + 4x + 10.
• Теперь у нас есть:
• 2x² - 4x = 2t + 4x + 10 - 4x = 2t + 10.

Шаг 3: Подставляем в уравнение

• Теперь подставим это выражение обратно в уравнение:
• (t)² - (2t + 10) + 7 = 0.
• Упрощаем уравнение:
• (t)² - 2t - 10 + 7 = 0,
• (t)² - 2t - 3 = 0.

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение

• Теперь решим квадратное уравнение (t)² - 2t - 3 = 0.
• Для этого воспользуемся формулой решения квадратного уравнения:
• t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -2, c = -3.
• Находим дискриминант:
• D = (-2)² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16.
• Теперь находим корни:
• t1 = (2 + √16) / 2 = (2 + 4) / 2 = 3,
• t2 = (2 - √16) / 2 = (2 - 4) / 2 = -1.

Шаг 5: Возвращаемся к x

• Теперь у нас есть два значения для t: t1 = 3 и t2 = -1.
• Теперь вернемся к нашей замене: t = x² - 2x - 5.
• Решаем для t1 = 3:
• x² - 2x - 5 = 3 → x² - 2x - 8 = 0.
• Решаем это уравнение:
• D = (-2)² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36.
• x1 = (2 + √36) / 2 = (2 + 6) / 2 = 4,
• x2 = (2 - √36) / 2 = (2 - 6) / 2 = -2.
• Теперь решаем для t2 = -1:
• x² - 2x - 5 = -1 → x² - 2x - 4 = 0.
• D = (-2)² - 4 * 1 * (-4) = 4 + 16 = 20.
• x3 = (2 + √20) / 2 = (2 + 2√5) / 2 = 1 + √5,
• x4 = (2 - √20) / 2 = (2 - 2√5) / 2 = 1 - √5.

Шаг 6: Итог

• Таким образом, у нас есть 4 корня уравнения:
• x1 = 4,
• x2 = -2,
• x3 = 1 + √5,
• x4 = 1 - √5.

Это и есть все шаги, которые мы проделали для решения данного уравнения с помощью замены t. Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь задавать!