Чтобы составить уравнение касательной к графику функции в заданной точке, нужно выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим процесс подробно.

1. Найти значение функции в точке x0 = 3:
   • Подставляем x0 в функцию: y = (3)^3 - 2*(3)^2 - 7 + 4*(3).
   • Вычисляем: y = 27 - 18 - 7 + 12 = 14.
   • Таким образом, точка касания имеет координаты (3, 14).
2. Найти производную функции:
   • Производная функции y = x^3 - 2x^2 - 7 + 4x будет: y' = 3x^2 - 4x + 4.
3. Подставить x0 в производную, чтобы найти угол наклона касательной:
   • Теперь подставим x0 = 3 в производную: y'(3) = 3*(3)^2 - 4*(3) + 4.
   • Вычисляем: y'(3) = 27 - 12 + 4 = 19.
   • Коэффициент наклона касательной равен 19.
4. Составить уравнение касательной:
   • Уравнение касательной можно записать в виде: y - y0 = m(x - x0), где m - угловой коэффициент, (x0, y0) - координаты точки касания.
   • Подставляем значения: y - 14 = 19(x - 3).
   • Раскрываем скобки: y - 14 = 19x - 57.
   • Переносим 14 в правую часть: y = 19x - 43.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = x^3 - 2x^2 - 7 + 4x в точке x0 = 3 имеет вид: y = 19x - 43.