Чтобы составить уравнение плоскости, которая проходит через заданные точки и параллельна заданному вектору, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти вектор, определяющий направление между двумя точками.

Точки М1 и М2 имеют координаты:

• М1(2; -1; 3)
• М2(3; 1; 2)

Вектор, определяющий направление между этими двумя точками, можно найти, вычитая координаты первой точки из координат второй:

v = М2 - М1 = (3 - 2; 1 - (-1); 2 - 3) = (1; 2; -1).

Шаг 2: Найти нормальный вектор плоскости.

Плоскость, параллельная вектору а и содержащая вектор v, будет иметь нормальный вектор, который можно найти с помощью векторного произведения векторов v и а.

Вектор а задан как a = {3; -1; -4}.

Теперь мы можем найти нормальный вектор n = v x a:

• n = (v1, v2, v3) x (a1, a2, a3)
• где v1 = 1, v2 = 2, v3 = -1 и a1 = 3, a2 = -1, a3 = -4.

Вычисляем координаты нормального вектора n:

• n1 = v2 * a3 - v3 * a2 = 2 * (-4) - (-1) * (-1) = -8 - 1 = -9
• n2 = v3 * a1 - v1 * a3 = (-1) * 3 - 1 * (-4) = -3 + 4 = 1
• n3 = v1 * a2 - v2 * a1 = 1 * (-1) - 2 * 3 = -1 - 6 = -7

Итак, нормальный вектор n = (-9; 1; -7).

Шаг 3: Составить уравнение плоскости.

Уравнение плоскости в общем виде можно записать как:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0,

где (x0, y0, z0) - координаты точки, через которую проходит плоскость, а (A, B, C) - компоненты нормального вектора.

Мы можем использовать точку М1(2; -1; 3) для подстановки в уравнение:

-9(x - 2) + 1(y + 1) - 7(z - 3) = 0.

Теперь раскроем скобки:

• -9x + 18 + y + 1 - 7z + 21 = 0.

Упрощаем уравнение:

• -9x + y - 7z + 40 = 0.

Итак, уравнение плоскости, проходящей через точки М1 и М2 и параллельной вектору a, имеет вид:

-9x + y - 7z + 40 = 0.