Как вычислить сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел Z = 4 - 5i и Z = 3 + 7i?

Математика 11 класс Комплексные числа сумма комплексных чисел разность комплексных чисел произведение комплексных чисел частное комплексных чисел Z = 4 - 5i Z = 3 + 7i вычисление комплексных чисел математика 11 класс Новый

Для вычисления суммы, разности, произведения и частного комплексных чисел Z1 = 4 - 5i и Z2 = 3 + 7i, мы будем следовать определённым шагам для каждого из этих операций.

1. Сумма комплексных чисел:

Сумма двух комплексных чисел производится поэлементно: складываем действительные части и мнимые части.

• Действительные части: 4 + 3 = 7
• Мнимые части: -5 + 7 = 2

Таким образом, сумма Z1 + Z2 = 7 + 2i.

2. Разность комплексных чисел:

Разность также вычисляется поэлементно: вычитаем действительные части и мнимые части.

• Действительные части: 4 - 3 = 1
• Мнимые части: -5 - 7 = -12

Следовательно, разность Z1 - Z2 = 1 - 12i.

3. Произведение комплексных чисел:

Для произведения комплексных чисел используем формулу:

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i, где a и b - действительная и мнимая части первого числа, а c и d - второго.

• a = 4, b = -5, c = 3, d = 7
• Действительная часть: 4 * 3 - (-5) * 7 = 12 + 35 = 47
• Мнимая часть: 4 * 7 + (-5) * 3 = 28 - 15 = 13

Таким образом, произведение Z1 * Z2 = 47 + 13i.

4. Частное комплексных чисел:

Для деления комплексных чисел используем следующий метод: умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю число.

Сопряжённое к Z2 = 3 + 7i будет Z2* = 3 - 7i.

Теперь вычислим частное:

Z1 / Z2 = (4 - 5i) / (3 + 7i) * (3 - 7i) / (3 - 7i)

В числителе:

(4 - 5i)(3 - 7i) = 12 - 28i - 15i + 35 = 12 + 35 - 43i = 47 - 43i.

В знаменателе:

(3 + 7i)(3 - 7i) = 9 + 49 = 58.

Таким образом, частное:

Z1 / Z2 = (47 - 43i) / 58.

Теперь можно представить это в виде:

Частное = 47/58 - (43/58)i.

Итак, мы получили:

• Сумма: Z1 + Z2 = 7 + 2i
• Разность: Z1 - Z2 = 1 - 12i
• Произведение: Z1 * Z2 = 47 + 13i
• Частное: Z1 / Z2 = 47/58 - (43/58)i