Давайте разберем все шаги по порядку.

1. Преобразования для построения графика функции y = (x - 4)^2 + 1:

1. Начнем с базовой функции y = x^2. Это парабола, открытая вверх, с вершиной в точке (0, 0).
2. Первое преобразование: сдвиг вправо на 4 единицы. Это означает, что мы заменяем x на (x - 4). Вершина параболы теперь будет находиться в точке (4, 0).
3. Второе преобразование: сдвиг вверх на 1 единицу. Мы добавляем 1 к функции, что перемещает вершину параболы в точку (4, 1).

Таким образом, график функции y = (x - 4)^2 + 1 - это парабола, открытая вверх, с вершиной в точке (4, 1).

2. Область определения функции:

Функция y = (x - 4)^2 + 1 определена для всех значений x, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен, и добавление 1 делает значение функции всегда положительным. Таким образом, область определения функции:

Область определения: x ∈ R (все действительные числа).

3. Множество значений функции:

Поскольку парабола открыта вверх и ее вершина находится в точке (4, 1), значение функции не может быть меньше 1. Следовательно, множество значений функции:

Множество значений: y ≥ 1.

4. Максимальное значение функции:

Поскольку функция имеет форму параболы, открытой вверх, она не имеет максимального значения, так как значения функции могут расти бесконечно. Таким образом:

Максимальное значение: не существует.

5. Определение четности функции f(x) = 7x^3 - 6x:

Чтобы определить, является ли функция четной или нечетной, нужно проверить:

• Для четной функции: f(-x) = f(x).
• Для нечетной функции: f(-x) = -f(x).

Подставим -x:

f(-x) = 7(-x)^3 - 6(-x) = -7x^3 + 6x = - (7x^3 - 6x) = -f(x).

Так как f(-x) = -f(x), функция f(x) = 7x^3 - 6x является нечетной.

6. Определение четности функции f(x) = 8x - 1.1:

Проверим четность:

f(-x) = 8(-x) - 1.1 = -8x - 1.1.

Так как f(-x) ≠ f(x) и f(-x) ≠ -f(x), функция не является ни четной, ни нечетной.

7. Составление сложных функций:

Дано f(x) = 9x + 10. Теперь найдем f(8x) и f(5x - 1):

1. Для f(8x): подставляем 8x вместо x в функции f:

f(8x) = 9(8x) + 10 = 72x + 10.

2. Для f(5x - 1): подставляем 5x - 1 вместо x в функции f:

f(5x - 1) = 9(5x - 1) + 10 = 45x - 9 + 10 = 45x + 1.

Таким образом, мы получили:

f(8x) = 72x + 10

f(5x - 1) = 45x + 1

Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!