Какое наименьшее значение функции y=(x-12) √(x+9)+5 можно найти на отрезке [-8;7]?

Математика 11 класс Оптимизация функций наименьшее значение функции функция y=(x-12)√(x+9)+5 отрезок [-8;7] математика анализ функции экстремумы функции вычисление минимума Новый

Чтобы найти наименьшее значение функции y = (x - 12)√(x + 9) + 5 на отрезке [-8; 7], следуем следующим шагам:

1. Определим область определения функции.
   • Подкоренное выражение √(x + 9) должно быть неотрицательным, то есть x + 9 ≥ 0.
   • Это условие выполняется, когда x ≥ -9.
   • Поскольку мы рассматриваем отрезок [-8; 7], область определения функции на этом отрезке будет от -8 до 7.
2. Найдем производную функции y.
   • Используем правило произведения и правило дифференцирования корня:
   • y' = (x - 12) * (1/(2√(x + 9))) * (1) + √(x + 9) * (1).
   • Упрощаем: y' = (x - 12)/(2√(x + 9)) + √(x + 9).
3. Найдем критические точки.
   • Приравняем производную к нулю: (x - 12)/(2√(x + 9)) + √(x + 9) = 0.
   • Умножим обе части уравнения на 2√(x + 9) (при условии, что √(x + 9) не равно 0):
   • (x - 12) + 2(x + 9) = 0.
   • Решаем уравнение: x - 12 + 2x + 18 = 0 → 3x + 6 = 0 → 3x = -6 → x = -2.
4. Теперь проверим значения функции в критической точке и на концах отрезка.
   • Вычислим y(-8): y(-8) = (-8 - 12)√(-8 + 9) + 5 = (-20)√1 + 5 = -20 + 5 = -15.
   • Вычислим y(-2): y(-2) = (-2 - 12)√(-2 + 9) + 5 = (-14)√7 + 5.
   • Вычислим y(7): y(7) = (7 - 12)√(7 + 9) + 5 = (-5)√16 + 5 = -5 * 4 + 5 = -20 + 5 = -15.
5. Сравним все полученные значения:
   • y(-8) = -15,
   • y(-2) = -14√7 + 5 (примерно -6.8),
   • y(7) = -15.

Наименьшее значение функции на отрезке [-8; 7] будет равно -15, которое достигается в точках x = -8 и x = 7.