Скалярное произведение векторов можно вычислить с помощью следующей формулы:

Скалярное произведение векторов A и B: A · B = Ax * Bx + Ay * By + Az * Bz

Где Ax, Ay, Az - координаты вектора A, а Bx, By, Bz - координаты вектора B.

Для начала найдем координаты векторов, которые нам нужны для вычисления скалярных произведений:

• Вектор AB = B - A = (-3 - 5; 4 - 2; 0 - 1) = (-8; 2; -1)
• Вектор AC = C - A = (3 - 5; 0 - 2; 4 - 1) = (-2; -2; 3)
• Вектор AD = D - A = (1 - 5; -4 - 2; 3 - 1) = (-4; -6; 2)
• Вектор BC = C - B = (3 + 3; 0 - 4; 4 - 0) = (6; -4; 4)
• Вектор BD = D - B = (1 + 3; -4 - 4; 3 - 0) = (4; -8; 3)
• Вектор CD = D - C = (1 - 3; -4 - 0; 3 - 4) = (-2; -4; -1)

Теперь можем вычислить скалярные произведения:

1. Скалярное произведение A · B · A · C:

Сначала найдем A · B:

A · B = (-8) * 5 + 2 * 2 + (-1) * 1 = -40 + 4 - 1 = -37

Теперь найдем A · C:

A · C = (-2) * 5 + (-2) * 2 + 3 * 1 = -10 - 4 + 3 = -11

Теперь перемножим результаты:

A · B · A · C = -37 * -11 = 407

2. Скалярное произведение A · C · B · D:

Сначала найдем A · C:

A · C = -11 (уже нашли выше)

Теперь найдем B · D:

B · D = (4) * (-3) + (-8) * 4 + 3 * 0 = -12 - 32 + 0 = -44

Теперь перемножим результаты:

A · C · B · D = -11 * -44 = 484

3. Скалярное произведение A · D - B · C:

Сначала найдем A · D:

A · D = (-4) * 5 + (-6) * 2 + 2 * 1 = -20 - 12 + 2 = -30

Теперь найдем B · C:

B · C = (6) * (-3) + (-4) * 4 + 4 * 0 = -18 - 16 + 0 = -34

Теперь вычтем результаты:

A · D - B · C = -30 - (-34) = -30 + 34 = 4

4. Скалярное произведение A · B · C · D:

Сначала найдем A · B:

A · B = -37 (уже нашли выше)

Теперь найдем C · D:

C · D = (-2) * 3 + (-4) * 0 + (-1) * 4 = -6 + 0 - 4 = -10

Теперь перемножим результаты:

A · B · C · D = -37 * -10 = 370

Таким образом, мы получили следующие результаты:

• A · B · A · C = 407
• A · C · B · D = 484
• A · D - B · C = 4
• A · B · C · D = 370