Каков закон распределения случайной величины Х - числа выстрелов, сделанных стрелком с 4 патронами, если вероятность попадания в цель составляет 0,7? Какое наивероятнейшее число истраченных патронов? Пожалуйста, предоставьте подробное решение.

Как найти неизвестную константу в функции плотности f(x) = С * exp(-2x) при x > 0 и 0 в других случаях? Как определить функцию распределения F(x) и вероятность попасть в интервал [-3; 0,5]?

Математика 11 класс Теория вероятностей и математическая статистика закон распределения случайная величина вероятность попадания наивероятнейшее число функция плотности неизвестная константа функция распределения вероятность интервала Новый

Давайте разберем ваш вопрос по частям.

1. Закон распределения случайной величины X - числа выстрелов, сделанных стрелком с 4 патронами.

В данной задаче мы имеем 4 выстрела и вероятность попадания в цель p = 0,7. Мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас фиксированное количество испытаний (выстрелов) и два возможных исхода (попадание и промах).

Формула биномиального распределения выглядит следующим образом:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k),

где:

• C(n, k) - биномиальный коэффициент, равный n! / (k! * (n - k)!),
• n - общее количество испытаний (в нашем случае n = 4),
• k - количество успешных исходов (попаданий),
• p - вероятность успеха (попадания),
• (1 - p) - вероятность неуспеха (промаха).

Теперь мы можем вычислить вероятность для каждого возможного значения k (0, 1, 2, 3, 4):

1. P(X = 0) = C(4, 0) * (0,7)^0 * (0,3)^4 = 1 * 1 * 0,0081 = 0,0081
2. P(X = 1) = C(4, 1) * (0,7)^1 * (0,3)^3 = 4 * 0,7 * 0,027 = 0,0756
3. P(X = 2) = C(4, 2) * (0,7)^2 * (0,3)^2 = 6 * 0,49 * 0,09 = 0,2646
4. P(X = 3) = C(4, 3) * (0,7)^3 * (0,3)^1 = 4 * 0,343 * 0,3 = 0,4116
5. P(X = 4) = C(4, 4) * (0,7)^4 * (0,3)^0 = 1 * 0,2401 * 1 = 0,2401

Теперь, чтобы найти наивероятнейшее число истраченных патронов, мы определяем значение k, для которого P(X = k) максимальна. В данном случае максимальная вероятность соответствует k = 3 (P(X = 3) = 0,4116).

2. Найти неизвестную константу в функции плотности f(x) = C * exp(-2x) при x > 0.

Для нахождения константы C необходимо использовать условие нормировки функции плотности вероятности, которое гласит, что интеграл функции плотности по всему пространству должен равняться 1:

∫[0, ∞] f(x) dx = 1.

Подставим нашу функцию:

∫[0, ∞] C * exp(-2x) dx = 1.

Интегрируем:

C * ∫[0, ∞] exp(-2x) dx = 1.

Интеграл exp(-2x) равен (-1/2) * exp(-2x) при границах от 0 до ∞:

C * [0 - (-1/2)] = 1.

Таким образом, C/2 = 1, откуда C = 2.

3. Определить функцию распределения F(x) и вероятность попасть в интервал [-3; 0,5].

Функция распределения F(x) для функции плотности f(x) = 2 * exp(-2x) будет определяться как:

F(x) = ∫[0, x] f(t) dt = ∫[0, x] 2 * exp(-2t) dt.

Интегрируем:

F(x) = [-exp(-2t)] от 0 до x = -exp(-2x) + 1 = 1 - exp(-2x).

Теперь, чтобы найти вероятность попасть в интервал [-3; 0,5], сначала отметим, что f(x) = 0 для x < 0, поэтому:

P(-3 < X < 0,5) = F(0,5) - F(-3) = F(0,5) - 0 = F(0,5).

Теперь подставим x = 0,5 в F(x):

F(0,5) = 1 - exp(-2 * 0,5) = 1 - exp(-1) ≈ 1 - 0,3679 ≈ 0,6321.

Таким образом, вероятность попасть в интервал [-3; 0,5] составляет примерно 0,6321.