Какова монотонность функции f(x)=3x^4-8x^3+16 на указанном интервале?

Математика 11 класс Монотонность функций монотонность функции f(x)=3x^4-8x^3+16 интервал производная функции анализ функции Новый

Чтобы определить монотонность функции f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 16, нам нужно найти ее производную и исследовать знаки этой производной на указанном интервале.

Шаг 1: Найдем производную функции.

Производная функции f(x) будет равна:

• f'(x) = d/dx (3x^4) - d/dx (8x^3) + d/dx (16)
• f'(x) = 12x^3 - 24x^2

Шаг 2: Найдем критические точки.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. В нашем случае мы решаем уравнение:

• 12x^3 - 24x^2 = 0

Вынесем общий множитель:

• 12x^2(x - 2) = 0

Таким образом, критические точки:

• x = 0
• x = 2

Шаг 3: Исследуем знаки производной.

Теперь нам нужно определить знак производной на интервалах, которые образуются критическими точками: (-∞, 0), (0, 2), (2, +∞).

Для этого выберем тестовые точки из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, 0) возьмем x = -1:
• f'(-1) = 12(-1)^3 - 24(-1)^2 = -12 - 24 = -36 (меньше 0)
• Для интервала (0, 2) возьмем x = 1:
• f'(1) = 12(1)^3 - 24(1)^2 = 12 - 24 = -12 (меньше 0)
• Для интервала (2, +∞) возьмем x = 3:
• f'(3) = 12(3)^3 - 24(3)^2 = 12*27 - 24*9 = 324 - 216 = 108 (больше 0)

Шаг 4: Подводим итоги.

Теперь мы можем сделать вывод о монотонности функции:

• На интервале (-∞, 0) функция убывает (f' < 0).
• На интервале (0, 2) функция также убывает (f' < 0).
• На интервале (2, +∞) функция возрастает (f' > 0).

Таким образом, функция f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 16 убывает на интервалах (-∞, 0) и (0, 2), и возрастает на интервале (2, +∞).