Похожие вопросы
2026-01-15 13:48:51
Какова площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x² - 2 и y = 2x + 1?
Выберите один ответ:
- 32/3
- 3
- 16/3
- 64/3
Математика 11 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь фигуры кривые y = x² - 2 y = 2x + 1 математика 11 класс
2026-01-15 13:49:10
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x² - 2 и y = 2x + 1, нам нужно выполнить несколько шагов:
- Найти точки пересечения кривых.
Для этого приравняем уравнения двух кривых:
x² - 2 = 2x + 1
Переносим все в одну сторону:
x² - 2x - 3 = 0
Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого можем воспользоваться формулой корней квадратного уравнения:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -2, c = -3.
Подставим значения:
x = (2 ± √((-2)² - 4 * 1 * (-3))) / (2 * 1)
x = (2 ± √(4 + 12)) / 2
x = (2 ± √16) / 2
x = (2 ± 4) / 2
Мы получаем два корня:
x₁ = (2 + 4) / 2 = 3
x₂ = (2 - 4) / 2 = -1
Таким образом, точки пересечения кривых находятся в x = -1 и x = 3.
- Найти площадь между кривыми.
Площадь S между кривыми можно найти по формуле:
S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx, где f(x) - верхняя кривая, g(x) - нижняя кривая, а a и b - границы интегрирования.
В нашем случае:
- f(x) = 2x + 1 (верхняя кривая)
- g(x) = x² - 2 (нижняя кривая)
Теперь подставим границы интегрирования от -1 до 3:
S = ∫[-1, 3] ((2x + 1) - (x² - 2)) dx
S = ∫[-1, 3] (-x² + 2x + 3) dx
Теперь вычислим этот интеграл:
S = [(-x³/3) + (2x²/2) + 3x] от -1 до 3
S = [(-3³/3) + (2*3²/2) + 3*3] - [(-(-1)³/3) + (2*(-1)²/2) + 3*(-1)]
S = [(-27/3) + (18/2) + 9] - [(-(-1)/3) + (2/2) - 3]
S = [-9 + 9 + 9] - [(1/3) + 1 - 3]
S = [9] - [(1/3) - 2]
S = 9 - (1/3 - 6/3)
S = 9 - (-5/3)
S = 9 + 5/3
S = (27/3 + 5/3) = 32/3
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x² - 2 и y = 2x + 1, равна 32/3.