Какова полная поверхность правильной треугольной пирамиды, если апофема равна 6 см, а радиус окружности, вписанной в основание, равен 3 см?

Математика 11 класс Полная поверхность правильной треугольной пирамиды правильная треугольная пирамида полная поверхность апофема радиус окружности геометрия математика 11 класс Новый

Чтобы найти полную поверхность правильной треугольной пирамиды, нам нужно знать площадь основания и площадь боковых граней. Давайте разберем это по шагам.

Шаг 1: Найдем площадь основания.

Основание правильной треугольной пирамиды является правильным треугольником. Площадь правильного треугольника можно найти по формуле:

Площадь = (a^2 * √3) / 4,

где a - длина стороны треугольника. Но у нас есть радиус окружности, вписанной в основание, который равен 3 см. Для правильного треугольника радиус вписанной окружности можно выразить через сторону треугольника:

r = (a * √3) / 6.

Из этого уравнения выразим a:

a = (6r) / √3 = (6 * 3) / √3 = 18 / √3 = 6√3.

Теперь подставим значение a в формулу для площади:

Площадь = ( (6√3)^2 * √3) / 4 = (108 * √3) / 4 = 27√3 см².

Шаг 2: Найдем площадь боковых граней.

Боковые грани пирамиды - это три равнобедренных треугольника. Площадь одного такого треугольника можно найти по формуле:

Площадь треугольника = (1/2) * основание * высота.

Основание равнобедренного треугольника - это сторона основания пирамиды (a = 6√3), а высота - это апофема (h = 6 см).

Подставим значения:

Площадь одного бокового треугольника = (1/2) * (6√3) * 6 = 18√3 см².

Так как у нас три боковых грани, общая площадь боковых граней будет:

Общая площадь боковых граней = 3 * 18√3 = 54√3 см².

Шаг 3: Найдем полную поверхность пирамиды.

Теперь мы можем найти полную поверхность пирамиды, сложив площадь основания и площадь боковых граней:

Полная поверхность = Площадь основания + Общая площадь боковых граней = 27√3 + 54√3 = 81√3 см².

Таким образом, полная поверхность правильной треугольной пирамиды составляет 81√3 см².