Для решения неравенства 2/(x−3)^2 + 3/(x^2 − 9) − 5/(x^2 − 3x) < 0 начнем с упрощения выражения.

Сначала заметим, что x^2 − 9 можно разложить на множители:

• x^2 − 9 = (x − 3)(x + 3)

Также x^2 − 3x можно представить как:

• x^2 − 3x = x(x − 3)

Теперь можем переписать неравенство, подставив эти разложения:

2/(x−3)^2 + 3/((x−3)(x+3)) − 5/(x(x−3)) < 0

Общим знаменателем для всех дробей будет (x−3)^2 * x * (x+3). Приведем все дроби к этому общему знаменателю:

Переписываем каждую дробь:

• Первая дробь: 2/(x−3)^2 = 2x(x+3)
• Вторая дробь: 3/((x−3)(x+3)) = 3(x−3)
• Третья дробь: 5/(x(x−3)) = 5(x−3)(x+3)

Теперь неравенство становится:

2x(x+3) + 3(x−3) − 5(x−3)(x+3) < 0

Упростим каждую часть:

• 2x(x+3) = 2x^2 + 6x
• 3(x−3) = 3x − 9
• −5(x−3)(x+3) = −5(x^2 − 9) = −5x^2 + 45

Теперь подставим все обратно в неравенство:

2x^2 + 6x + 3x − 9 − 5x^2 + 45 < 0

Объединим подобные члены:

(2x^2 − 5x^2) + (6x + 3x) + (−9 + 45) < 0

−3x^2 + 9x + 36 < 0

Умножим неравенство на -1 (не забываем поменять знак):

3x^2 − 9x − 36 > 0

Теперь найдем корни квадратного уравнения 3x^2 − 9x − 36 = 0 с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4*3*(-36) = 81 + 432 = 513

Теперь находим корни:

x1,2 = (−b ± √D) / 2a = (9 ± √513) / 6

Корни уравнения делят числовую ось на интервалы. Чтобы определить, в каких интервалах неравенство выполняется, протестируем значения из каждого интервала.

Теперь найдем наименьшее целое положительное и наименьшее целое отрицательное решения:

• Наименьшее целое положительное решение: x = 4 (так как 3 < (9 + √513)/6 < 4)
• Наименьшее целое отрицательное решение: x = -1 (так как -2 < (9 - √513)/6 < -1)

Теперь найдем сумму этих двух решений:

4 + (-1) = 3

Таким образом, сумма наименьшего целого положительного и наименьшего целого отрицательного решений неравенства равна 3.