2025-12-02 07:13:41
Каково значение полного дифференциала функции z = arctg((x - y)/(1 + xy)) при x = 1, y = 0, Δx = 0,01 и Δy = 0,02?
Варианты ответов:
- 0
- -0,015
- 0,025
- 0,015
- -0,025
Математика 11 класс Полный дифференциал функции нескольких переменных полный дифференциал функция z arctg значение математика 11 класс x = 1 y = 0 Δx Δy варианты ответов
2025-12-02 07:14:00
Для того чтобы найти значение полного дифференциала функции z = arctg((x - y)/(1 + xy)), нам нужно сначала определить частные производные функции z по переменным x и y, а затем подставить заданные значения.
Шаг 1: Найдем частные производные.
Обозначим:
u = (x - y)/(1 + xy).
Тогда z = arctg(u).
Теперь найдем частные производные:
- Частная производная z по x:
- dz/dx = 1/(1 + u^2) * du/dx.
- Теперь найдем du/dx:
- du/dx = [(1 + xy)(1) - (x - y)(y)]/(1 + xy)^2 = (1 + xy - y(x - y))/(1 + xy)^2.
- Частная производная z по y:
- dz/dy = 1/(1 + u^2) * du/dy.
- Теперь найдем du/dy:
- du/dy = [(1 + xy)(-1) - (x - y)(x)]/(1 + xy)^2 = (-1 - xy + x(x - y))/(1 + xy)^2.
Шаг 2: Подставим x = 1, y = 0.
Теперь подставим значения x = 1 и y = 0 в u:
u = (1 - 0)/(1 + 1*0) = 1.
Теперь найдем u^2:
u^2 = 1^2 = 1.
Теперь подставим x = 1 и y = 0 в частные производные:
- dz/dx = 1/(1 + 1) * [(1 + 0)(1) - (1 - 0)(0)]/(1 + 0)^2 = 1/2 * 1/1 = 1/2.
- dz/dy = 1/(1 + 1) * [(-1 - 0 + 1(1 - 0))]/(1 + 0)^2 = 1/2 * 0/1 = 0.
Шаг 3: Найдем полный дифференциал.
Полный дифференциал dz можно выразить как:
dz = (dz/dx) * Δx + (dz/dy) * Δy.
Подставим найденные значения:
- dz = (1/2) * 0,01 + (0) * 0,02 = 0,005 + 0 = 0,005.
Шаг 4: Окончательный ответ.
Таким образом, значение полного дифференциала функции z при заданных условиях равно 0,005. Однако среди предложенных вариантов такого значения нет. Возможно, стоит проверить вычисления или условия задачи.