Каковы интервалы знакопостоянства для неравенства х³ - 3х² > 0?

Математика 11 класс Неравенства и интервалы знакопостоянства интервалы знакопостоянства неравенство х³ - 3х² > 0 математика 11 класс решение неравенств Новый

Для решения неравенства х³ - 3х² > 0, начнем с того, что упростим его, вынеся общий множитель.

1. Вынесем общий множитель х²:

х²(х - 3) > 0

2. Теперь у нас есть произведение двух множителей: х² и (х - 3). Чтобы определить интервалы знакопостоянства, найдем нули каждого из множителей:

• Первый множитель: х² = 0, что дает х = 0.
• Второй множитель: х - 3 = 0, что дает х = 3.

Таким образом, у нас есть два критических значения: х = 0 и х = 3. Теперь мы разделим числовую прямую на интервалы, используя эти точки:

• Интервал 1: (-∞, 0)
• Интервал 2: (0, 3)
• Интервал 3: (3, +∞)

3. Теперь проверим знак произведения х²(х - 3) на каждом из этих интервалов:

1. Для интервала (-∞, 0):
   • Выберем тестовую точку, например, х = -1.
   • х² = 1 (положительно), (х - 3) = -4 (отрицательно).
   • Произведение: 1 * (-4) = -4 (отрицательное).
2. Для интервала (0, 3):
   • Выберем тестовую точку, например, х = 1.
   • х² = 1 (положительно), (х - 3) = -2 (отрицательно).
   • Произведение: 1 * (-2) = -2 (отрицательное).
3. Для интервала (3, +∞):
   • Выберем тестовую точку, например, х = 4.
   • х² = 16 (положительно), (х - 3) = 1 (положительно).
   • Произведение: 16 * 1 = 16 (положительное).

4. Теперь мы можем подвести итоги:

• На интервале (-∞, 0) знак произведения отрицательный.
• На интервале (0, 3) знак произведения отрицательный.
• На интервале (3, +∞) знак произведения положительный.

5. Мы ищем интервалы, где произведение больше нуля. Это происходит только на интервале (3, +∞).

Ответ: Интервал знакопостоянства для неравенства х³ - 3х² > 0: (3, +∞).