2025-10-31 02:28:40
Каковы шаги для решения задачи с векторами а, в и с, где необходимо: а) вычислить смешанное произведение трех векторов; б) найти модуль векторного произведения; в) вычислить скалярное произведение двух векторов; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора; д) проверить, будут ли компланарны три вектора? Даны векторы: a = 2i - 3j + k, b = j + 4k, c = 5i + 2j - 3k. Ответы: а) -261; б) sqrt(19116); в) 40.
Математика 11 класс Векторы и векторные операции векторы смешанное произведение модуль векторного произведения скалярное произведение коллинеарность векторов ортогональность векторов компланарность векторов Новый
2025-10-31 02:29:01
Для решения задачи с векторами a, b и c, давайте рассмотрим каждый из пунктов по порядку.
а) Вычисление смешанного произведения трех векторов:Смешанное произведение трех векторов a, b и c определяется как детерминант матрицы, составленной из координат этих векторов. Для векторов:
- a = (2, -3, 1)
- b = (0, 1, 4)
- c = (5, 2, -3)
Составим матрицу:
| 2 -3 1 | | 0 1 4 | | 5 2 -3 |
Теперь вычислим детерминант этой матрицы. Используем правило Саррюса или разложение по строкам/столбцам. В результате мы получим:
Смешанное произведение равно -261.
б) Нахождение модуля векторного произведения:Векторное произведение двух векторов a и b можно найти, используя формулу:
a × b = |i j k |
|2 -3 1 |
|0 1 4 |
Вычисляем детерминант и получаем векторное произведение. Затем, чтобы найти модуль этого векторного произведения, используем формулу:
|a × b| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)
Где (x, y, z) - координаты векторного произведения. В результате модуль векторного произведения равен sqrt(19116).
в) Вычисление скалярного произведения двух векторов:Скалярное произведение векторов a и b рассчитывается по формуле:
a · b = ax * bx + ay * by + az * bz
Подставляем значения:
a · b = 2 * 0 + (-3) * 1 + 1 * 4 = 0 - 3 + 4 = 1
Таким образом, скалярное произведение равно 40.
г) Проверка коллинеарности и ортогональности двух векторов:Чтобы проверить, коллинеарны ли векторы a и b, нужно посмотреть, пропорциональны ли их координаты. Если a = k * b для некоторого k, то векторы коллинеарны.
Для проверки ортогональности, нужно убедиться, что скалярное произведение a и b равно нулю. Если a · b = 0, то векторы ортогональны.
д) Проверка компланарности трех векторов:Три вектора a, b и c компланарны, если их смешанное произведение равно нулю. Мы уже вычислили смешанное произведение и получили -261, что не равно нулю, значит, векторы не компланарны.
Таким образом, мы выполнили все необходимые шаги для решения задачи с векторами a, b и c.