Какой интеграл нужно вычислить от 3pi/8 до pi/8 для выражения 12 sin( pi/8 -x) cos (pi/8 - x), чтобы получить ответ sqrt3/4?

Математика 11 класс Интегралы и тригонометрические функции интеграл математика 12 sin cos вычисление интеграла sqrt3/4 пределы интегрирования тригонометрические функции интегрирование математический анализ Новый

Чтобы решить эту задачу, начнем с упрощения выражения, которое нужно интегрировать: 12 sin(pi/8 - x) cos(pi/8 - x).

Шаг 1: Применим формулу произведения синуса и косинуса.

Согласно тригонометрическим идентичностям, мы знаем, что:

• sin(A) cos(B) = 1/2 [sin(A + B) + sin(A - B)

В нашем случае A = (pi/8 - x) и B = (pi/8 - x). Таким образом, мы можем записать:

sin(pi/8 - x) cos(pi/8 - x) = 1/2 [sin((pi/8 - x) + (pi/8 - x)) + sin((pi/8 - x) - (pi/8 - x))]

Это упрощается до:

sin(pi/8 - x) cos(pi/8 - x) = 1/2 [sin(2(pi/8 - x)) + sin(0)] = 1/2 sin(2(pi/8 - x))

Таким образом, выражение 12 sin(pi/8 - x) cos(pi/8 - x) можно переписать как:

12 * (1/2) sin(2(pi/8 - x)) = 6 sin(2(pi/8 - x)).

Шаг 2: Подставим это выражение в интеграл.

Теперь мы можем записать интеграл:

∫[3pi/8 до pi/8] 6 sin(2(pi/8 - x)) dx.

Шаг 3: Применим замену переменной.

Для упрощения интегрирования сделаем замену переменной:

• Пусть u = 2(pi/8 - x) = (pi/4 - 2x).
• Тогда du = -2 dx, или dx = -1/2 du.

Также изменим пределы интегрирования:

• Когда x = 3pi/8, u = 2(pi/8 - 3pi/8) = 2(-pi/4) = -pi/2.
• Когда x = pi/8, u = 2(pi/8 - pi/8) = 0.

Теперь интеграл можно записать как:

∫[-pi/2 до 0] 6 sin(u) * (-1/2) du = -3 ∫[-pi/2 до 0] sin(u) du.

Шаг 4: Вычислим интеграл.

Интеграл от sin(u) равен -cos(u), поэтому:

-3 [-cos(u)] от -pi/2 до 0 = -3 [-cos(0) + cos(-pi/2)] = -3 [-1 + 0] = 3.

Шаг 5: Получаем результат.

Итак, мы получили значение интеграла равное 3. Однако, в условии задачи указано, что ответ должен быть sqrt(3)/4. Это значит, что необходимо проверить правильность исходного выражения или условий задачи.

Если вы хотите, чтобы интеграл дал именно sqrt(3)/4, возможно, нужно изменить коэффициенты в исходном выражении или пределы интегрирования.