Какой радиус окружности, вписанной в треугольник ABD, если ABCD - это прямоугольник с периметром 28 см и диагональю AC, равной 10 см?

Математика 11 класс Вписанная окружность в треугольник радиус окружности вписанной в треугольник треугольник ABD прямоугольник ABCD периметр 28 см диагональ AC 10 см

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в треугольник ABD, нам нужно сначала определить некоторые параметры самого треугольника и прямоугольника ABCD.

Шаг 1: Определим стороны прямоугольника ABCD.

Пусть стороны прямоугольника ABCD равны a и b. Периметр прямоугольника можно выразить как:

2(a + b) = 28 см.

Отсюда получаем:

a + b = 14 см.

Также нам известно, что диагональ AC равна 10 см. По теореме Пифагора для прямоугольника можно записать:

AC = √(a² + b²) = 10 см.

Квадрат обеих сторон дает нам уравнение:

a² + b² = 100.

Шаг 2: Решим систему уравнений.

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. a + b = 14
2. a² + b² = 100

Сначала выразим b через a из первого уравнения:

b = 14 - a.

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

a² + (14 - a)² = 100.

Раскроем скобки:

a² + (196 - 28a + a²) = 100.

Соберем подобные слагаемые:

2a² - 28a + 196 = 100.

Упростим уравнение:

2a² - 28a + 96 = 0.

Разделим все на 2:

a² - 14a + 48 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-14)² - 4 * 1 * 48 = 196 - 192 = 4.

Корни уравнения:

a = (14 ± √D) / 2 = (14 ± 2) / 2.

Таким образом, получаем:

1. a₁ = (14 + 2) / 2 = 8 см;
2. a₂ = (14 - 2) / 2 = 6 см.

Следовательно, стороны прямоугольника ABCD равны a = 8 см и b = 6 см.

Шаг 3: Находим радиус вписанной окружности треугольника ABD.

Стороны треугольника ABD равны:

• AB = b = 6 см;
• AD = a = 8 см;
• BD = √(a² + b²) = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10 см.

Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности r треугольника ABD. Формула для радиуса вписанной окружности:

r = S / p, где S - площадь треугольника, p - полупериметр.

Шаг 4: Найдем площадь S треугольника ABD.

Площадь S можно найти по формуле:

S = (1/2) * AB * AD = (1/2) * 6 * 8 = 24 см².

Шаг 5: Найдем полупериметр p треугольника ABD.

Полупериметр p равен:

p = (AB + AD + BD) / 2 = (6 + 8 + 10) / 2 = 12 см.

Шаг 6: Находим радиус r.

Теперь подставим значения в формулу:

r = S / p = 24 / 12 = 2 см.

Ответ: Радиус окружности, вписанной в треугольник ABD, равен 2 см.

Привет! Давай разберемся с этой задачей шаг за шагом.

Сначала найдем стороны прямоугольника ABCD. У нас есть периметр, который равен 28 см. Периметр прямоугольника можно найти по формуле:

Периметр = 2 * (длина + ширина)

Обозначим длину прямоугольника как a, а ширину как b. Тогда у нас есть:

2 * (a + b) = 28

Отсюда:

a + b = 14 (1)

Теперь давай воспользуемся диагональю. Она равна 10 см, и для прямоугольника мы можем использовать теорему Пифагора:

AC² = a² + b²

Подставим значение диагонали:

10² = a² + b²

100 = a² + b² (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Давай выразим b через a из первого уравнения:

b = 14 - a

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

100 = a² + (14 - a)²

Раскроем скобки:

100 = a² + (196 - 28a + a²)

100 = 2a² - 28a + 196

Теперь перенесем все в одну сторону:

2a² - 28a + 96 = 0

Делим все на 2:

a² - 14a + 48 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-14)² - 4 1 48 = 196 - 192 = 4

Теперь находим корни:

a = (14 ± √4) / 2

a = (14 ± 2) / 2

Это дает нам два возможных значения:

a₁ = 8 см и a₂ = 6 см

Теперь подставим эти значения обратно в уравнение (1), чтобы найти b:

• Если a = 8 см, то b = 14 - 8 = 6 см.
• Если a = 6 см, то b = 14 - 6 = 8 см.

Таким образом, стороны прямоугольника ABCD равны 6 см и 8 см.

Теперь найдем радиус окружности, вписанной в треугольник ABD. Для этого воспользуемся формулой:

r = S / p

где S – площадь треугольника, а p – полупериметр.

Сначала найдем площадь треугольника ABD. Площадь можно найти как:

S = (1/2) основание высота = (1/2) 6 8 = 24 см²

Теперь найдем полупериметр:

p = (AB + AD + BD) / 2

Сторона AB = 6 см, AD = 8 см, а BD – это диагональ, равная 10 см. Тогда:

p = (6 + 8 + 10) / 2 = 12 см

Теперь подставим значения в формулу для радиуса:

r = 24 / 12 = 2 см

Итак, радиус окружности, вписанной в треугольник ABD, равен 2 см!

Если будут еще вопросы, не стесняйся спрашивать!