Какой угол образуется при ребре основания правильной четырехугольной пирамиды, если боковое ребро равно диагонали ее основания? Также, каковы углы при боковом ребре и между противоположными боковыми гранями?

Математика 11 класс Геометрия. Правильные пирамиды угол правильная четырехугольная пирамида боковое ребро диагональ основания углы при боковом ребре углы между боковыми гранями математика 11 класс геометрия свойства пирамиды задачи на углы треугольники векторы пространственные фигуры Новый

Давайте разберемся с задачей шаг за шагом. У нас есть правильная четырехугольная пирамида. Это значит, что основание пирамиды — квадрат. Обозначим:

• Сторону квадрата основания как a.
• Боковое ребро пирамиды как s.
• Высоту пирамиды как h.

По условию задачи, боковое ребро равно диагонали квадрата основания. Диагональ квадрата может быть найдена по формуле: d = a√2. Следовательно, боковое ребро s = a√2.

Теперь найдем угол между ребром основания и боковым ребром. Рассмотрим треугольник, образованный ребром основания, боковым ребром и высотой пирамиды. Это треугольник SOA, где:

• S — вершина пирамиды,
• O — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата),
• A — вершина квадрата.

Треугольник SOA — прямоугольный, так как OA — половина диагонали квадрата (гипотенуза), а SO — это высота пирамиды. В этом треугольнике:

• OA = a√2/2 (половина диагонали квадрата),
• SA = a√2 (боковое ребро).

Теперь найдем угол θ между ребром основания OA и боковым ребром SA. Используем косинус угла:

cos(θ) = OA/SA = (a√2/2) / (a√2) = 1/2.

Следовательно, угол θ равен 60 градусов.

Далее, найдем угол между боковым ребром и высотой пирамиды. Опять в треугольнике SOA:

• Используем синус угла φ между боковым ребром SA и высотой SO:
• sin(φ) = OA/SA = (a√2/2) / (a√2) = 1/2.

Таким образом, угол φ равен 30 градусов.

Наконец, найдем угол между противоположными боковыми гранями. Рассмотрим треугольник, образованный двумя боковыми ребрами и диагональю основания AC. Этот треугольник — равнобедренный, так как боковые ребра равны. Угол между боковыми гранями равен:

2 * arcsin(a/(2s)), где s = a√2.

Подставляем и упрощаем:

2 * arcsin(a/(2a√2)) = 2 * arcsin(1/(2√2)) = 2 * arcsin(√2/4).

Это значение приближенно равно 90 градусов.

Итак, подведем итог:

• Угол между ребром основания и боковым ребром — 60 градусов.
• Угол между боковым ребром и высотой пирамиды — 30 градусов.
• Угол между противоположными боковыми гранями — приблизительно 90 градусов.