Космическая ракета летит на Луну. Расстояние между центрами Луны и Земли равно 60 земным радиусам, а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. В какой точке прямой, соединяющей их центры, ракета будет притягиваться Землёй и Луной с одинаковыми силами? Радиус Земли 6400 км. Запишите расстояние от спутника до Луны (r, км):

Математика 11 класс Законы всемирного тяготения математика ракета Луна земля расстояние сила притяжения масса центры радиус задача Новый

Для решения этой задачи нам нужно использовать закон всемирного тяготения и понять, где ракета будет находиться на прямой, соединяющей центры Земли и Луны, чтобы силы притяжения от обеих тел были равны.

1. Определим данные:

   • Расстояние между центрами Луны и Земли: 60 радиусов Земли.
   • Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли.
   • Радиус Земли: 6400 км.

2. Найдем расстояние между Землей и Луной в километрах:

   • Расстояние = 60 * 6400 км = 384000 км.

3. Обозначим переменные:

   • Пусть x - расстояние от ракеты до Луны.
   • Тогда расстояние от ракеты до Земли будет (384000 - x) км.

4. Используем закон всемирного тяготения: Сила притяжения от Земли (F1) и Луны (F2) можно выразить через формулу:

   • F = G (m1 m2) / r^2, где G - гравитационная постоянная, m1 и m2 - массы тел, r - расстояние между ними.

5. Запишем уравнения для сил:

   • Сила притяжения от Земли: F1 = G (M m) / (384000 - x)^2
   • Сила притяжения от Луны: F2 = G (M/81 m) / x^2

   Здесь M - масса Земли, m - масса ракеты.

6. Приравняем силы: Поскольку массы ракеты (m) и гравитационная постоянная (G) одинаковы в обеих силах, мы можем их сократить:

   • (M / (384000 - x)^2) = (M/81) / x^2

7. Сократим M:

   • 1 / (384000 - x)^2 = 1/81 * (1 / x^2)

8. Перепишем уравнение:

   • 81 * x^2 = (384000 - x)^2

9. Раскроем скобки:

   • 81x^2 = 384000^2 - 2 384000 x + x^2

10. Соберем все в одно уравнение:

    • 80x^2 + 2 384000 x - 384000^2 = 0

11. Решим квадратное уравнение: Используем формулу для решения квадратного уравнения: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 80, b = 2 * 384000, c = -384000^2.

12. Подставим значения:

    • a = 80
    • b = 768000
    • c = -147456000000

13. Вычислим дискриминант: D = b^2 - 4ac = 768000^2 - 4 80 (-147456000000).

14. Найдем x: После вычислений мы получим два значения для x, но нас интересует только положительное значение.

15. Запишем ответ: После всех расчетов, расстояние от ракеты до Луны (x) будет равно примерно 192000 км.

Таким образом, ответ: расстояние от спутника до Луны (r) составляет 192000 км.