На сколько процентов возрастет y = x^0,75, если x увеличится на 2 %?

Математика 11 класс Производная и процентные изменения функций возрастание функции процентное изменение математика 11 класс производная функции x и y процентное увеличение математика анализ функций Новый

Для того чтобы найти, на сколько процентов возрастет функция y = x^0,75 при увеличении x на 2%, мы можем воспользоваться методом дифференцирования и приближением.

Шаг 1: Найдем производную функции y по x.

• y = x^0,75
• Производная y по x: dy/dx = 0,75 * x^(0,75 - 1) = 0,75 * x^(-0,25)

Шаг 2: Определим, что значит увеличение x на 2%.

• Если x увеличивается на 2%, то новое значение x можно выразить как x_new = x * (1 + 0,02) = 1,02x.

Шаг 3: Найдем изменение y при увеличении x на 2% с помощью производной.

• Используем формулу для малых изменений: dy ≈ (dy/dx) * dx.
• dx = 0,02x (это 2% от x).
• Теперь подставим в формулу: dy ≈ (0,75 * x^(-0,25)) * (0,02x).
• dy ≈ 0,75 * 0,02 * x^(1 - 0,25) = 0,75 * 0,02 * x^(0,75).

Шаг 4: Найдем новое значение y после изменения x.

• y_new = (x_new)^0,75 = (1,02x)^0,75 = 1,02^0,75 * x^0,75.
• Теперь мы можем выразить y_new через y: y_new = 1,02^0,75 * y.

Шаг 5: Найдем 1,02^0,75. Это значение можно вычислить с помощью калькулятора или таблиц.

• 1,02^0,75 ≈ 1,01489 (примерное значение).

Шаг 6: Теперь мы можем найти процентное изменение y:

• Процентное изменение = (y_new - y) / y * 100% = (1,01489y - y) / y * 100%.
• Это упрощается до: (0,01489) * 100% ≈ 1,489%.

Ответ: При увеличении x на 2% значение y = x^0,75 возрастет примерно на 1,49%.