Найдите наименьшее значение функции y=(x-12) √(x+9)+5 на отрезке [-8;7].

Помогите пожалуйста!

Математика 11 класс Оптимизация функций наименьшее значение функции функция y=(x-12) √(x+9)+5 отрезок [-8;7] математика задачи по математике Новый

Чтобы найти наименьшее значение функции y = (x - 12) √(x + 9) + 5 на отрезке [-8; 7], следуем следующим шагам:

1. Определим область определения функции.

Функция включает корень, поэтому выражение под корнем должно быть неотрицательным:

• x + 9 ≥ 0
• x ≥ -9

Таким образом, область определения функции на отрезке [-8; 7] будет от -8 до 7, так как -8 ≥ -9.

2. Найдем производную функции.

Для нахождения критических точек найдем производную функции:

y' = (x - 12) * (1/2)(x + 9)^(-1/2) + √(x + 9) * 1

Упрощая, получаем:

y' = (x - 12) / (2√(x + 9)) + √(x + 9)

3. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек.

Решаем уравнение:

(x - 12) / (2√(x + 9)) + √(x + 9) = 0

Умножаем на 2√(x + 9) (при условии, что √(x + 9) ≠ 0):

(x - 12) + 2(x + 9) = 0

Решаем это уравнение:

x - 12 + 2x + 18 = 0

3x + 6 = 0

x = -2

4. Определим значение функции в критической точке и на концах отрезка.

Теперь найдем значение функции в критической точке x = -2 и на концах отрезка x = -8 и x = 7:

• При x = -8:

y(-8) = (-8 - 12)√(-8 + 9) + 5 = -20 * 1 + 5 = -15

• При x = -2:

y(-2) = (-2 - 12)√(-2 + 9) + 5 = -14 * √7 + 5

• При x = 7:

y(7) = (7 - 12)√(7 + 9) + 5 = -5 * √16 + 5 = -20 + 5 = -15

5. Сравним найденные значения.

Теперь сравним значения:

• y(-8) = -15
• y(-2) = -14√7 + 5 (это значение примерно -6.29)
• y(7) = -15

Наименьшее значение функции на отрезке [-8; 7] равно -15.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке [-8; 7] равно -15.