Похожие вопросы
2025-10-29 06:40:10
Найдите общий вид первообразной функции:
f(x) = 3/(3x-1)^3 на промежутке (1/3; +∞)
Математика 11 класс Интегрирование функций первообразная функция общий вид математика 11 класс интегрирование функции дробно-рациональные функции промежуток интегрирования Новый
2025-10-29 06:40:24
Чтобы найти общий вид первообразной функции f(x) = 3/(3x-1)^3, мы будем использовать метод интегрирования. Давайте рассмотрим функцию и выполним интегрирование.
Шаг 1: Запишем интеграл, который нам нужно вычислить:
∫ f(x) dx = ∫ (3/(3x-1)^3) dx
Шаг 2: Используем замену переменной для упрощения интеграла. Пусть:
- u = 3x - 1
- Тогда, дифференцируя обе стороны, получаем: du = 3 dx, или dx = du/3.
Шаг 3: Перепишем интеграл в терминах u:
Теперь, когда мы знаем, что dx = du/3, подставим это в интеграл:
∫ (3/(3x-1)^3) dx = ∫ (3/u^3) * (du/3) = ∫ (1/u^3) du
Шаг 4: Теперь вычислим интеграл ∫ (1/u^3) du:
Интеграл 1/u^n (где n = 3) равен -1/(2u^2) + C, где C - константа интегрирования. Таким образом:
∫ (1/u^3) du = -1/(2u^2) + C
Шаг 5: Подставим обратно выражение для u:
Теперь вернемся к переменной x. Мы знаем, что u = 3x - 1, поэтому:
-1/(2u^2) = -1/(2(3x - 1)^2)
Шаг 6: Записываем общий вид первообразной функции:
Таким образом, общий вид первообразной функции f(x) будет:
F(x) = -1/(2(3x - 1)^2) + C, где C - произвольная константа.
Итак, мы нашли общий вид первообразной функции для данной функции f(x) = 3/(3x-1)^3 на промежутке (1/3; +∞).