Чтобы доказать, что выражение 1008!•1009!•2017!•2018! не является квадратом натурального числа, мы можем использовать свойства факториалов и делимость на простые числа.

Начнем с того, что факториал n! — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Мы можем заметить, что:

• 1009! = 1009 * 1008!
• 2018! = 2018 * 2017!

Теперь подставим это в выражение:

1008! * 1009! * 2017! * 2018! = 1008! * (1009 * 1008!) * 2017! * (2018 * 2017!)

Упрощая, получаем:

1008!^2 * 1009 * 2017!^2 * 2018

Теперь давайте проанализируем, что мы имеем:

• 1008!^2 — это квадрат, так как возводим в квадрат факториал.
• 2017!^2 — это тоже квадрат.
• 1009 и 2018 — это простые числа.

Теперь давайте посмотрим на простые числа 1009 и 2018:

• Число 1009 — нечетное простое число.
• Число 2018 = 2 * 1009 — четное число, но содержит 1009 как множитель.

Таким образом, в нашем произведении 1008!^2 * 1009 * 2017!^2 * 2018 есть множитель 1009, который не может быть представлен в виде квадрата (так как 1009 в произведении встречается всего один раз и не может быть "пара" для образования квадрата).

Поэтому, поскольку в выражении присутствует множитель, который является простым числом и встречается нечетное количество раз, 1008!•1009!•2017!•2018! не может быть квадратом натурального числа.

Таким образом, мы доказали, что данное выражение не является квадратом натурального числа.