Давайте разберем оба ваших вопроса по порядку.

1. Как вычислить cos(arcsin(√3/2))?

Для начала, давайте вспомним, что arcsin - это обратная функция к синусу. Это означает, что если мы обозначим x = arcsin(√3/2), то sin(x) = √3/2. Теперь мы можем использовать тригонометрическую идентичность для нахождения косинуса:

• По определению, sin^2(x) + cos^2(x) = 1.
• Подставим значение sin(x):
• sin^2(x) = (√3/2)^2 = 3/4.
• Теперь подставим это значение в тригонометрическую идентичность:

cos^2(x) = 1 - sin^2(x) = 1 - 3/4 = 1/4.

Теперь найдем cos(x):

cos(x) = √(1/4) = 1/2.

Таким образом, мы получили, что:

cos(arcsin(√3/2)) = 1/2.

2. Как доказать тождество: 1 - sin^4(a) - cos^4(a) = 1/2 sin^2(2a)?

Давайте начнем с левой части тождества и попробуем ее упростить.

• Мы знаем, что sin^4(a) + cos^4(a) можно представить как (sin^2(a) + cos^2(a))^2 - 2sin^2(a)cos^2(a).
• Поскольку sin^2(a) + cos^2(a) = 1, то:

sin^4(a) + cos^4(a) = 1 - 2sin^2(a)cos^2(a).

Теперь подставим это в нашу левую часть:

1 - sin^4(a) - cos^4(a) = 1 - (1 - 2sin^2(a)cos^2(a)) = 2sin^2(a)cos^2(a).

Здесь мы видим, что 2sin^2(a)cos^2(a) можно выразить через sin(2a):

2sin(a)cos(a) = sin(2a), следовательно:

2sin^2(a)cos^2(a) = (1/2)sin^2(2a).

Таким образом, мы получаем:

1 - sin^4(a) - cos^4(a) = (1/2)sin^2(2a).

Это и есть правая часть нашего тождества.

Таким образом, мы доказали, что 1 - sin^4(a) - cos^4(a) = 1/2 sin^2(2a).