Давайте решим неравенство:

((x ^ 2 + 8x + 15) * (x - 6) ^ 2)/(25 - x ^ 2) >= 0

Для начала, упростим выражение в числителе и знаменателе.

• Числитель: x^2 + 8x + 15 можно разложить на множители:
• x^2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5)
• Знаменатель: 25 - x^2 можно представить как разность квадратов:
• 25 - x^2 = (5 - x)(5 + x)

Теперь подставим все обратно в неравенство:

((x + 3)(x + 5)(x - 6)^2) / ((5 - x)(5 + x)) >= 0

Теперь найдем нули числителя и знаменателя:

• Нули числителя:
• x + 3 = 0 → x = -3
• x + 5 = 0 → x = -5
• (x - 6)^2 = 0 → x = 6 (двойной корень)
• Нули знаменателя:
• 5 - x = 0 → x = 5
• 5 + x = 0 → x = -5
(заметим, что x = -5 уже был найден как нуль числителя)

Теперь у нас есть следующие ключевые точки:

• x = -5
• x = -3
• x = 6
• x = 5 (знаменатель не может быть равен нулю)

Теперь мы можем построить числовую прямую и определить знаки выражения на интервалах:

Интервалы:

• (-∞, -5)
• (-5, -3)
• (-3, 5)
• (5, 6)
• (6, +∞)

Теперь проверим знак выражения на каждом интервале:

1. Для x < -5 (например, x = -6):
   • Числитель: (+)(+)(+) = +
   • Знаменатель: (-)(-) = +
   • Знак: +/+= +
2. Для -5 < x < -3 (например, x = -4):
   • Числитель: (-)(+)(+) = -
   • Знаменатель: (-)(+) = -
   • Знак: -/- = +
3. Для -3 < x < 5 (например, x = 0):
   • Числитель: (+)(+)(+) = +
   • Знаменатель: (-)(+) = -
   • Знак: +/- = -
4. Для 5 < x < 6 (например, x = 5.5):
   • Числитель: (+)(+)(+) = +
   • Знаменатель: (+)(+) = +
   • Знак: +/+ = +
5. Для x > 6 (например, x = 7):
   • Числитель: (+)(+)(+) = +
   • Знаменатель: (+)(+) = +
   • Знак: +/+ = +

Теперь мы можем собрать результаты:

Выражение больше или равно нулю на следующих интервалах:

• x ∈ (-∞, -5) ∪ (-5, -3] ∪ (5, 6] ∪ (6, +∞)

Теперь найдем целые решения:

• Из интервала (-∞, -5): целое число -6
• Из интервала (-5, -3]: целое число -4
• Из интервала (5, 6]: целое число 6

Теперь складываем целые решения:

-6 + (-4) + 6 = -4

Ответ: Сумма целых решений неравенства равна -4.