Помогите решить 13 задание по проф. математике решите уравнение
а) 2log0,75^2(sin x)+3 log0,75(sin x)-2=0
б) укажите корни этого уравнения, которые принадлежат отрезку (5пи/2; 4пи)

Математика 11 класс Логарифмы и уравнения решение уравнения Логарифмическое уравнение корни уравнения математика проф. математика тригонометрические функции отрезок (5пи/2; 4пи) Новый

Давайте разберем задание по шагам.

Часть а)

У нас есть уравнение:

2log_0,75(sin x) + 3 log_0,75(sin x) - 2 = 0

Сначала объединим логарифмы:

• Обозначим log_0,75(sin x) как y.

Тогда уравнение можно переписать так:

2y + 3y - 2 = 0

Это упрощается до:

5y - 2 = 0

Теперь найдем y:

• 5y = 2
• y = 2/5

Теперь вернемся к выражению для y:

log_0,75(sin x) = 2/5

Чтобы избавиться от логарифма, применим определение логарифма:

sin x = 0,75^(2/5)

Теперь вычислим значение 0,75^(2/5):

0,75^(2/5) ≈ 0,5743

Таким образом, у нас есть уравнение:

sin x = 0,5743

Теперь найдем x. У нас есть два основных решения для синуса:

• x = arcsin(0,5743) + 2kπ
• x = π - arcsin(0,5743) + 2kπ

Теперь вычислим arcsin(0,5743). Это значение примерно равно 0,615. Таким образом:

• x ≈ 0,615 + 2kπ
• x ≈ π - 0,615 + 2kπ ≈ 2,526 + 2kπ

Теперь у нас есть два решения для x:

• x ≈ 0,615 + 2kπ
• x ≈ 2,526 + 2kπ

Часть б)

Теперь нам нужно найти корни уравнения на отрезке (5π/2; 4π).

Сначала найдем значения k, которые подходят для нашего диапазона:

• Для первого решения:
• 0,615 + 2kπ > 5π/2
• 2kπ > 5π/2 - 0,615
• k > (5π/2 - 0,615)/(2π)
• Для второго решения:
• 2,526 + 2kπ > 5π/2
• 2kπ > 5π/2 - 2,526
• k > (5π/2 - 2,526)/(2π)

Теперь подставим значения π ≈ 3,14 и посчитаем:

• 5π/2 ≈ 7,85
• 0,615 ≈ 0,615
• 2,526 ≈ 2,526

Теперь подставляем:

• Для первого решения:
• 2kπ > 7,85 - 0,615 ≈ 7,235
• k > 7,235/(2 * 3,14) ≈ 1,15
• Для второго решения:
• 2kπ > 7,85 - 2,526 ≈ 5,324
• k > 5,324/(2 * 3,14) ≈ 0,85

Таким образом, для k = 1 и k = 0, у нас есть:

• k = 1 для первого решения: x ≈ 0,615 + 2 * 1 * π ≈ 0,615 + 6,28 ≈ 6,895
• k = 1 для второго решения: x ≈ 2,526 + 2 * 1 * π ≈ 2,526 + 6,28 ≈ 8,806

Теперь проверяем, попадают ли эти значения в отрезок (5π/2; 4π):

• 5π/2 ≈ 7,85
• 4π ≈ 12,56

Таким образом, корни, которые принадлежат отрезку (5π/2; 4π):

• x ≈ 8,806

Итак, мы нашли решение уравнения и указали корни на заданном отрезке. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!