Чтобы решить уравнение √((2-x)+√(2x+7))=2, давайте следовать шагам:

1. Квадратирование обеих сторон уравнения: Поскольку у нас есть квадратный корень, начнем с того, чтобы избавиться от него. Квадратируем обе стороны уравнения:
• (√((2-x)+√(2x+7)))² = 2²
• Это дает нам: (2-x) + √(2x+7) = 4
2. Переносим 2-x: Теперь мы можем упростить уравнение, перенести (2-x) на правую сторону:
• √(2x+7) = 4 - (2-x)
• √(2x+7) = 4 - 2 + x
• √(2x+7) = x + 2
3. Квадратируем снова: Чтобы избавиться от квадратного корня, еще раз квадратируем обе стороны:
• (√(2x+7))² = (x + 2)²
• Это дает нам: 2x + 7 = (x + 2)(x + 2)
• Раскрываем скобки: 2x + 7 = x² + 4x + 4
4. Переносим все в одну сторону: Теперь перенесем все в одну сторону, чтобы получить уравнение равное нулю:
• 0 = x² + 4x + 4 - 2x - 7
• 0 = x² + 2x - 3
5. Решаем квадратное уравнение: Теперь у нас есть квадратное уравнение x² + 2x - 3 = 0. Мы можем решить его с помощью дискриминанта:
• D = b² - 4ac = 2² - 4*1*(-3) = 4 + 12 = 16
• Корни уравнения находятся по формуле: x = (-b ± √D) / (2a)
• Подставляем значения: x = (-2 ± √16) / (2*1)
• Это дает два корня: x₁ = (-2 + 4) / 2 = 1 и x₂ = (-2 - 4) / 2 = -3
6. Проверка корней: Необходимо проверить, подходят ли найденные корни для исходного уравнения:
• Для x = 1: √((2-1)+√(2*1+7)) = √(1 + √9) = √(1 + 3) = √4 = 2 (подходит)
• Для x = -3: √((2 - (-3)) + √(2*(-3) + 7)) = √(5 + √(1)) = √(5 + 1) = √6 (не равно 2, не подходит)

Таким образом, единственный корень уравнения: x = 1.